Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
(\sqrt[3]{n})_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \bigl(\sqrt[3]{n}\bigr)_{n\in\mathbb{N}} e pede para verificar se ela é convergente ou não; caso convirja, determinar o limite.
Informações fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\sqrt[3]{n}=n^{1/3}.
  • A pergunta é: a sequência converge para algum número real? Se não, qual é o comportamento limite (por exemplo, diverge para +\infty)?

Passo 2

Vou lembrar a definição que preciso usar (explicada de forma simples).
  • Dizemos que uma sequência (a_n) converge para um número real L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\varepsilon. Isso significa que os termos ficam arbitrariamente próximos de L.
  • Dizemos que (a_n) diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, a_n>M. Ou seja, os termos ficam maiores que qualquer número dado eventualmente.
    Essas duas definições são o que vamos aplicar.

Passo 3

Observação sobre monotonicidade (isso ajuda a intuir o comportamento): para n\in\mathbb{N} vale n+1>n. A função x\mapsto\sqrt[3]{x}=x^{1/3} é crescente para x\ge0 (pois a função x\mapsto x^3 é estritamente crescente e tem inversa). Portanto
\sqrt[3]{n+1}>\sqrt[3]{n}
para todo n. Assim a sequência \bigl(\sqrt[3]{n}\bigr) é estritamente crescente. Isso já mostra que os termos não oscilam para valores menores — eles crescem sem parar ou tendem a um limite finito maior.

Passo 4

Mostrando que a sequência é não limitada superiormente (ou seja, é ilimitada): pegue um número arbitrário M>0. Considere M^3. Como os naturais são ilimitados, existe um N\in\mathbb{N} tal que N\ge M^3 (por exemplo, N=\lceil M^3\rceil). Para todo n\ge N temos n\ge N\ge M^3, e portanto, pela monotonicidade da função raiz cúbica,
\sqrt[3]{n}\ge\sqrt[3]{M^3}=M.
Isso prova que, dado qualquer M>0, existe N tal que para todo n\ge N vale \sqrt[3]{n}>M. Pela definição do Passo 2, isto significa que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=+\infty.

Passo 5

Interpretação final e conclusão didática: a sequência é estritamente crescente e não tem limite superior — para qualquer valor que se proponha, os termos da sequência ultrapassam esse valor a partir de algum índice. Logo ela não converge para nenhum número real; diverge para +\infty. Um exemplo numérico para intuir: \sqrt[3]{1}=1, \sqrt[3]{8}=2, \sqrt[3]{27}=3; conforme n cresce, \sqrt[3]{n} também cresce sem se aproximar de um número finito.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=+\infty

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