Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é convergente ou não; caso convirja, determinar o limite.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O termo geral é
. - A pergunta é: a sequência converge para algum número real? Se não, qual é o comportamento limite (por exemplo, diverge para
)?
Passo 2
Vou lembrar a definição que preciso usar (explicada de forma simples).
- Dizemos que uma sequência
converge para um número real se, para todo , existe tal que, para todo , . Isso significa que os termos ficam arbitrariamente próximos de . - Dizemos que
diverge para se, para todo , existe tal que, para todo , . Ou seja, os termos ficam maiores que qualquer número dado eventualmente.
Essas duas definições são o que vamos aplicar.
Passo 3
Observação sobre monotonicidade (isso ajuda a intuir o comportamento): para
vale
. A função
é crescente para
(pois a função
é estritamente crescente e tem inversa). Portanto
para todo
. Assim a sequência
é estritamente crescente. Isso já mostra que os termos não oscilam para valores menores — eles crescem sem parar ou tendem a um limite finito maior.
Passo 4
Mostrando que a sequência é não limitada superiormente (ou seja, é ilimitada): pegue um número arbitrário
. Considere
. Como os naturais são ilimitados, existe um
tal que
(por exemplo,
). Para todo
temos
, e portanto, pela monotonicidade da função raiz cúbica,
Isso prova que, dado qualquer
, existe
tal que para todo
vale
. Pela definição do Passo 2, isto significa que
Passo 5
Interpretação final e conclusão didática: a sequência é estritamente crescente e não tem limite superior — para qualquer valor que se proponha, os termos da sequência ultrapassam esse valor a partir de algum índice. Logo ela não converge para nenhum número real; diverge para
. Um exemplo numérico para intuir:
,
,
; conforme
cresce,
também cresce sem se aproximar de um número finito.