Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é convergente e, caso convirja, determinar o seu limite.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é formada pelos termos
para . - Todos os termos são positivos porque
e para todo .
Passo 2
Por que estudar
pode ajudar?
Quando temos uma sequência com exponencial no numerador e potência polinomial no denominador, é comum tomar o logaritmo natural para comparar taxas de crescimento. O log transforma potências e expoentes em formas mais fáceis de analisar (por exemplo, e
). Além disso, a função
é estritamente crescente, então:
Quando temos uma sequência com exponencial no numerador e potência polinomial no denominador, é comum tomar o logaritmo natural para comparar taxas de crescimento. O log transforma potências e expoentes em formas mais fáceis de analisar (por exemplo,
Vou então estudar
.
Passo 3
Calcular o logaritmo do termo geral:
Expliquei cada passo: usei
,
e
.
Passo 4
Analisar o comportamento de
quando
. Reescrevo:
Agora preciso saber o limite de
quando
.
Passo 5
Determinar
. Justificativa (uma forma simples): considere a função contínua
para
. Pelo cálculo de limites usando a regra de L’Hôpital (aplicável porque tanto
quanto
são diferenciáveis e temos uma forma do tipo
quando
):
Portanto
.
Passo 6
Voltar para
. Como
, temos
Multiplicando por
que tende a
, obtemos
Logo
.
Passo 7
Concluir sobre
. Como a função exponencial é crescente e
, do fato
segue que
Portanto a sequência diverge para
.
Passo 8
(Pequena alternativa — evidência por razão) Calculo a razão entre termos consecutivos para dar outra visão do crescimento:
Como
, tem-se
. Logo, para
grande a razão é maior que
, o que implica que a sequência cresce multiplicativamente com um fator superior a
e, portanto, fica sem limite superior — diverge para
. Esta é uma verificação alternativa consistente com o resultado anterior.