Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
\left(\frac{e^{n}}{n^{4}}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência \left(\dfrac{e^{n}}{n^{4}}\right)_{n\in\mathbb{N}} é convergente e, caso convirja, determinar o seu limite.
Informações dadas:
  • A sequência é formada pelos termos \displaystyle a_n=\dfrac{e^{n}}{n^{4}} para n=1,2,3,\dots.
  • Todos os termos são positivos porque e^{n}>0 e n^{4}>0 para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Por que estudar \ln(a_n) pode ajudar?
Quando temos uma sequência com exponencial no numerador e potência polinomial no denominador, é comum tomar o logaritmo natural para comparar taxas de crescimento. O log transforma potências e expoentes em formas mais fáceis de analisar (por exemplo, \ln(e^{n})=n e \ln(n^{4})=4\ln n). Além disso, a função \ln é estritamente crescente, então:
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=+\infty \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty.
Vou então estudar \ln(a_n).

Passo 3

Calcular o logaritmo do termo geral:
\ln(a_n)=\ln\!\left(\dfrac{e^{n}}{n^{4}}\right)=\ln(e^{n})-\ln(n^{4})=n-4\ln n.
Expliquei cada passo: usei \ln(x/y)=\ln x-\ln y, \ln(e^{n})=n e \ln(n^{4})=4\ln n.

Passo 4

Analisar o comportamento de \ln(a_n)=n-4\ln n quando n\to\infty. Reescrevo:
n-4\ln n = n\left(1-\dfrac{4\ln n}{n}\right).
Agora preciso saber o limite de \dfrac{\ln n}{n} quando n\to\infty.

Passo 5

Determinar \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0. Justificativa (uma forma simples): considere a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x>0. Pelo cálculo de limites usando a regra de L’Hôpital (aplicável porque tanto \ln x quanto x são diferenciáveis e temos uma forma do tipo \infty/\infty quando x\to\infty):
\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(d/dx)\ln x}{(d/dx)x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{1}=0.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0.

Passo 6

Voltar para \ln(a_n). Como \dfrac{\ln n}{n}\to0, temos
\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{4\ln n}{n}\right)=1.
Multiplicando por n que tende a +\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=\lim_{n\to\infty} n\left(1-\dfrac{4\ln n}{n}\right)=+\infty\cdot 1 = +\infty.
Logo \ln(a_n)\to+\infty.

Passo 7

Concluir sobre a_n. Como a função exponencial é crescente e a_n=\exp(\ln(a_n)), do fato \ln(a_n)\to+\infty segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln(a_n)} = e^{+\infty}=+\infty.
Portanto a sequência diverge para +\infty.

Passo 8

(Pequena alternativa — evidência por razão) Calculo a razão entre termos consecutivos para dar outra visão do crescimento:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e^{\,n+1}/(n+1)^{4}}{e^{n}/n^{4}}=e\left(\frac{n}{n+1}\right)^{4}=\frac{e}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{4}}.
Como \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{4}\to1, tem-se \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e>1. Logo, para n grande a razão é maior que 1, o que implica que a sequência cresce multiplicativamente com um fator superior a 1 e, portanto, fica sem limite superior — diverge para +\infty. Esta é uma verificação alternativa consistente com o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{e^{n}}{n^{4}}=+\infty

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