Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é convergente e, se for, determinar o seu limite.
Informações dadas e observações imediatas:
- A sequência geral é
para . - Para todo
, o numerador é (a função cosseno avaliada em radianos, ao quadrado). -
cresce quando . - Preciso decidir se
tem limite quando e, em caso afirmativo, qual é esse limite.
Passo 2
Primeiro passo útil: lembrar o intervalo de variação de
.
Fato: para qualquer real
vale
. Elevando ao quadrado obtemos
Aplicando isso ao nosso caso com
(valor inteiro mas isso não altera a propriedade), concluímos que, para todo
,
Explicação didática: o cosseno nunca passa de 1 nem de -1; ao quadrar, torna-se um número entre 0 e 1.
Passo 3
Dividindo a desigualdade anterior por
(para todo
é positivo), obtemos
Isso nos fornece uma estimativa simples e útil para a parte que varia da sequência
.
Passo 4
Estudo o comportamento de
quando
.
Conhecimento padrão:
quando
, logo seu recíproco tende a zero:
Intuição / mini-aula: conforme
fica grande, a raiz quadrada cresce sem limite, então
fica cada vez menor e se aproxima de zero.
Passo 5
Agora aplico o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema da Compressão ou Squeeze Theorem).
Temos, para todo
,
As sequências das extremidades convergem para o mesmo limite quando
:
Pelo Teorema do Confronto, a sequência intermediária também converge para
:
Passo 6
Finalmente, volto à sequência original
.
Regra de limites (soma): se
e
então
. Aqui
é constante (logo converge para
) e
. Portanto
Passo 7
Conclusão final (motivação e reforço): a parte variável
tende a zero porque está comprimida entre
e
e
. Somando 1 a essa parte que vai a zero, a sequência inteira converge para
. Dá pra imaginar na prova: como
nunca cresce, o denominador grande manda a fração para zero — simples e eficiente.
Resposta
Converge para
.