Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
\left(1+\frac{\cos ^{2}(n)}{\sqrt{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
\left(1+\frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}
é convergente e, se for, determinar o seu limite.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A sequência geral é x_n = 1+\dfrac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} para n\in\mathbb{N}.
  • Para todo n, o numerador é \cos^{2}(n) (a função cosseno avaliada em n radianos, ao quadrado).
  • \sqrt{n} cresce quando n\to\infty.
  • Preciso decidir se x_n tem limite quando n\to\infty e, em caso afirmativo, qual é esse limite.

Passo 2

Primeiro passo útil: lembrar o intervalo de variação de \cos^{2}(n).
Fato: para qualquer real t vale -1\le \cos(t)\le 1. Elevando ao quadrado obtemos
0 \le \cos^{2}(t) \le 1.
Aplicando isso ao nosso caso com t=n (valor inteiro mas isso não altera a propriedade), concluímos que, para todo n,
0 \le \cos^{2}(n) \le 1.
Explicação didática: o cosseno nunca passa de 1 nem de -1; ao quadrar, torna-se um número entre 0 e 1.

Passo 3

Dividindo a desigualdade anterior por \sqrt{n}>0 (para todo n\ge1 é positivo), obtemos
0 \le \frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}.
Isso nos fornece uma estimativa simples e útil para a parte que varia da sequência x_n.

Passo 4

Estudo o comportamento de \dfrac{1}{\sqrt{n}} quando n\to\infty.
Conhecimento padrão: \sqrt{n}\to\infty quando n\to\infty, logo seu recíproco tende a zero:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0.
Intuição / mini-aula: conforme n fica grande, a raiz quadrada cresce sem limite, então 1/\sqrt{n} fica cada vez menor e se aproxima de zero.

Passo 5

Agora aplico o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema da Compressão ou Squeeze Theorem).
Temos, para todo n,
0 \le \frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}.
As sequências das extremidades convergem para o mesmo limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} 0 = 0,\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, a sequência intermediária também converge para 0:
\lim_{n\to\infty} \frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} = 0.

Passo 6

Finalmente, volto à sequência original x_n = 1+\dfrac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}}.
Regra de limites (soma): se a_n\to a e b_n\to b então a_n+b_n\to a+b. Aqui 1 é constante (logo converge para 1) e \dfrac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}}\right) = 1 + 0 = 1.

Passo 7

Conclusão final (motivação e reforço): a parte variável \dfrac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} tende a zero porque está comprimida entre 0 e 1/\sqrt{n} e 1/\sqrt{n}\to 0. Somando 1 a essa parte que vai a zero, a sequência inteira converge para 1. Dá pra imaginar na prova: como \cos^2(n) nunca cresce, o denominador grande manda a fração para zero — simples e eficiente.

Resposta

Converge para 1.

Exercícios relacionados