Verifique se as sequências são limitadas superiormente e/ou inferiormente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é limitada superiormente e/ou limitada inferiormente. Para isso, vamos usar a definição:
– Uma sequência é limitada superiormente se existe um
tal que
para todo
.
– É limitada inferiormente se existe um tal que
para todo
.
– Uma sequência
– É limitada inferiormente se existe um
Passo 2
Reconhecemos a identidade trigonométrica para
:
Passo 3
Substituindo na definição de
, obtemos
Passo 4
Analisando os termos de índice par
:
que cresce sem limite quando
. Logo não existe
que satisfaça
para todo
, ou seja, a sequência não é limitada superiormente.
Passo 5
Agora os termos de índice ímpar
:
que tende a
quando
. Logo não existe
que satisfaça
para todo
, ou seja, a sequência não é limitada inferiormente.
Resposta
A sequência não é limitada superiormente nem limitada inferiormente.