Verifique se as sequências são limitadas superiormente e/ou inferiormente:
b_{n}=n \cos (n \pi)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
b_{n}=n\cos(n\pi)
é limitada superiormente e/ou limitada inferiormente. Para isso, vamos usar a definição:
– Uma sequência (b_{n}) é limitada superiormente se existe um M\in\mathbb{R} tal que b_{n}\le M para todo n.
– É limitada inferiormente se existe um m\in\mathbb{R} tal que b_{n}\ge m para todo n.

Passo 2

Reconhecemos a identidade trigonométrica para \cos(n\pi):
\cos(n\pi)=(-1)^{n}.

Passo 3

Substituindo na definição de b_{n}, obtemos
b_{n}=n\,(-1)^{n}.

Passo 4

Analisando os termos de índice par n=2k:
b_{2k}=(2k)(-1)^{2k} = 2k,
que cresce sem limite quando k\to\infty. Logo não existe M que satisfaça b_{n}\le M para todo n, ou seja, a sequência não é limitada superiormente.

Passo 5

Agora os termos de índice ímpar n=2k+1:
b_{2k+1}=(2k+1)(-1)^{2k+1} = -(2k+1),
que tende a -\infty quando k\to\infty. Logo não existe m que satisfaça b_{n}\ge m para todo n, ou seja, a sequência não é limitada inferiormente.

Resposta

A sequência não é limitada superiormente nem limitada inferiormente.

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