Verifique se as sequências são limitadas superiormente e/ou inferiormente:
a_{n}=\frac{3 n}{n+4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = \frac{3n}{n+4}
é limitada superiormente e/ou limitada inferiormente.
O conteúdo usado aqui é análise de limites e comparação de expressões algébricas para identificar cotas.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} de forma que fique claro seu comportamento em função de n. Observe:
a_{n} = \frac{3n}{n+4} = 3 \cdot \frac{n+4 - 4}{\,n+4\,} = 3\Bigl(1 - \frac{4}{\,n+4\,}\Bigr) = 3 - \frac{12}{\,n+4\,}.

Passo 3

Da forma
a_{n} = 3 - \frac{12}{n+4},
vemos que, para todo n\in\mathbb{N}, \frac{12}{n+4}>0. Logo
a_{n} = 3 - \frac{12}{n+4} < 3.
Isso mostra que 3 é uma cota superior de \{a_n\}. Ou seja, a sequência é limitada superiormente por 3.

Passo 4

Para achar uma cota inferior, note que, como n\ge1, temos
\frac{12}{n+4} \le \frac{12}{1+4} = \frac{12}{5},
logo
a_{n} = 3 - \frac{12}{n+4} \ge 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}.
Portanto \tfrac{3}{5} é uma cota inferior de \{a_n\}. A sequência fica no intervalo
\frac{3}{5} \;\le\; a_n \;<\; 3.

Resposta

A sequência \bigl(a_n\bigr) é limitada superiormente (por 3) e limitada inferiormente (por \tfrac{3}{5}).

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