Classifique as sequências abaixo em crescentes, decrescentes, não-crescentes, não-decrescentes ou nenhuma das anteriores:
d_{n}=\frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
d_{n} = \frac{n}{n+1}
quanto à monotonicidade: crescente (estritamente), decrescente (estritamente), não-crescente (monotonicamente não-crescente), não-decrescente (monotonicamente não-decrescente) ou nenhuma das anteriores. O conteúdo envolve monotonicidade de sequências e vamos usar a comparação de termos vizinhos via a diferença d_{n+1}-d_{n}.

Passo 2

Calculamos
d_{n+1} - d_{n} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - (n^2 + 2n)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)}.

Passo 3

Como para todo n\ge1 temos \frac{1}{(n+2)(n+1)}>0, segue que
d_{n+1}-d_{n}>0
para todo n. Isso significa que d_{n+1}>d_{n}, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \displaystyle d_{n}=\frac{n}{n+1} é crescente.

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