Verifique se as sequências a seguir convergem ou divergem. Em caso de convergência, indique o limite.
a_{n}=n \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n} definida por
a_{n}=n\operatorname{sen}\frac{1}{n},
e pede para verificar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, é preciso indicar o limite
\lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de a_{n} é n\operatorname{sen}\frac{1}{n}.
  • O índice n tende a infinito quando investigamos convergência de sequência.

Passo 2

Vamos entender o que significa mostrar que uma sequência converge. Dizer que a sequência (a_{n}) converge para um número L significa que, quando n cresce muito, os termos a_{n} ficam arbitrariamente próximos de L. Em símbolos:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=L.
Para o problema em mãos, uma estratégia muito eficiente é reescrever a_{n} de forma a relacioná-la com a conhecida razão \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} quando x\to 0. Observe que
a_{n}=n\operatorname{sen}\frac{1}{n}=\frac{\operatorname{sen}\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}.
Portanto estudar \lim_{n\to\infty} a_{n} é o mesmo que estudar
\lim_{n\to\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}.
Note a substituição natural x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to 0^{+}. Logo o limite da sequência está ligado ao limite de função
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 3

Agora introduzo um resultado clássico e o proveço de forma elementar (sem derivadas): para x em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica
\operatorname{sen} x < x < \tan x.
A partir daí podemos manipular para obter uma desigualdade útil. Como \tan x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, da desigualdade x<\tan x segue
x < \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\quad\Rightarrow\quad x\cos x < \operatorname{sen} x\quad\Rightarrow\quad \cos x < \frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Também da desigualdade \operatorname{sen} x < x obtemos
\frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1.
Combinando as duas desigualdades temos, para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}),
\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1.
(Esta é a forma padrão que leva ao limite do quociente seno sobre x.)

Passo 4

Agora aplicamos essa desigualdade ao caso x=\dfrac{1}{n}. Para todo n\ge 1 temos 0<\dfrac{1}{n}\le 1<\tfrac{\pi}{2}, então a desigualdade vale para todos os n suficientemente grandes (na verdade para todo n\ge1). Substituindo,
\cos\left(\frac{1}{n}\right) \le \frac{\operatorname{sen}\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}} \le 1.
Em notação de sequência isso é
\cos\left(\frac{1}{n}\right) \le a_{n} \le 1.

Passo 5

Usamos agora o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Sabemos que
\lim_{n\to\infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right)=\cos(0)=1,
pois a função cosseno é contínua e \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Pelo passo anterior temos uma sequência a_{n} presa entre \cos\left(\tfrac{1}{n}\right) e 1, e ambos os limites das sequências extremas são iguais a 1. Pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=1.

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: portanto a sequência converge e o seu limite é 1. Isso é consistente com a ideia intuitiva de que, para x pequeno, \operatorname{sen} x é muito próximo de x, então \operatorname{sen}(1/n) é aproximadamente 1/n, e n\cdot(1/n)=1. Está tudo certo — mesmo que a prova formal use a desigualdade e o Teorema do Aperto.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty} a_{n}=1.

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