Verifique se as sequências a seguir convergem ou divergem. Em caso de convergência, indique o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para verificar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, é preciso indicar o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - O índice
tende a infinito quando investigamos convergência de sequência.
Passo 2
Vamos entender o que significa mostrar que uma sequência converge. Dizer que a sequência
converge para um número
significa que, quando
cresce muito, os termos
ficam arbitrariamente próximos de
. Em símbolos:
Para o problema em mãos, uma estratégia muito eficiente é reescrever
de forma a relacioná-la com a conhecida razão
quando
. Observe que
Portanto estudar
é o mesmo que estudar
Note a substituição natural
. Quando
temos
. Logo o limite da sequência está ligado ao limite de função
Passo 3
Agora introduzo um resultado clássico e o proveço de forma elementar (sem derivadas): para
em
vale a desigualdade geométrica
A partir daí podemos manipular para obter uma desigualdade útil. Como
, da desigualdade
segue
Também da desigualdade
obtemos
Combinando as duas desigualdades temos, para
,
(Esta é a forma padrão que leva ao limite do quociente seno sobre x.)
Passo 4
Agora aplicamos essa desigualdade ao caso
. Para todo
temos
, então a desigualdade vale para todos os
suficientemente grandes (na verdade para todo
). Substituindo,
Em notação de sequência isso é
Passo 5
Usamos agora o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Sabemos que
pois a função cosseno é contínua e
quando
. Pelo passo anterior temos uma sequência
presa entre
e
, e ambos os limites das sequências extremas são iguais a
. Pelo Teorema do Aperto segue que
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido: portanto a sequência converge e o seu limite é
. Isso é consistente com a ideia intuitiva de que, para
pequeno,
é muito próximo de
, então
é aproximadamente
, e
. Está tudo certo — mesmo que a prova formal use a desigualdade e o Teorema do Aperto.
Resposta
A sequência converge e
.