Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Indique o critério utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1}
converge ou diverge. A informação dada é o termo geral da série, que vou chamar de
a_n=\frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1}.
A tarefa é decidir convergência/divergência e indicar o critério usado.

Passo 2

Vou lembrar um fato fundamental e muito usado em provas de séries (é um teste muito simples, mas poderoso):
  • Se uma série \sum a_n converge, então o termo geral a_n necessariamente tende a zero quando n\to\infty; isto é,
\text{se }\sum a_n\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n=0.ã
Esse resultado é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência. A ideia rápida da prova é: se S_n=\sum_{k=1}^n a_k converge para algum S, então as diferenças a_n=S_n-S_{n-1} tendem a S-S=0.
  • Consequência prática (o chamado “teste do termo geral” ou “critério da divergência”): se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 (ou o limite não existe), então a série \sum a_n diverge.
Vou aplicar esse teste: calcular \lim_{n\to\infty} a_n. Se o limite for diferente de zero, já posso concluir divergência.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral. Para \displaystyle a_n=\frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1} é conveniente dividir numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1}=\frac{1-\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora passo ao limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\tfrac{1}{2}\neq 0, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Pelo critério do termo geral (critério da divergência), a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1}
diverge.
Observação adicional (opcional): intuitivamente, para n grande o termo geral é próximo de \tfrac{1}{2}, então somar muitos termos que não tendem a zero é como somar muitas parcelas aproximadamente constantes — a soma explode.

Resposta

Diverge (critério do termo geral: \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{2}-1}{2 n^{2}+1}=\tfrac{1}{2}\neq0)

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