Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Indique o critério utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. A informação dada é o termo geral da série, que vou chamar de
A tarefa é decidir convergência/divergência e indicar o critério usado.
Passo 2
Vou lembrar um fato fundamental e muito usado em provas de séries (é um teste muito simples, mas poderoso):
- Se uma série
converge, então o termo geral necessariamente tende a zero quando ; isto é,
Esse resultado é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência. A ideia rápida da prova é: se
converge para algum
, então as diferenças
tendem a
.
- Consequência prática (o chamado “teste do termo geral” ou “critério da divergência”): se
(ou o limite não existe), então a série diverge.
Vou aplicar esse teste: calcular
. Se o limite for diferente de zero, já posso concluir divergência.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral. Para
é conveniente dividir numerador e denominador por
:
Agora passo ao limite quando
:
Portanto
.
Passo 4
Como
, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Pelo critério do termo geral (critério da divergência), a série
diverge.
Observação adicional (opcional): intuitivamente, para
grande o termo geral é próximo de
, então somar muitos termos que não tendem a zero é como somar muitas parcelas aproximadamente constantes — a soma explode.
Resposta
Diverge (critério do termo geral:
)