Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\left[4+\sin \left(n^{3}+3 n+1\right)\]}{n^{3}+3 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\bigl[4+\sin\bigl(n^{3}+3n+1\bigr)\bigr]}{n^{3}+3n+1}
converge ou diverge, justificando a afirmação. Informações dadas e observações iniciais:
  • O somatório começa em n=2.
  • O termo geral é (-1)^{n+1} vezes \dfrac{4+\sin\bigl(n^{3}+3n+1\bigr)}{n^{3}+3n+1}.
  • Sabemos que \sin(\cdot) sempre toma valores no intervalo [-1,1], então a parte \;4+\sin(\cdot)\; fica entre 3 e 5. Não uso nada mais do enunciado neste passo.

Passo 2

Vou relembrar definições e testes que vamos usar (explicados de forma prática):
  • Uma série \sum a_n converge absolutamente se \sum |a_n| converge. Se converge absolutamente, então converge (sempre).
  • Teste da comparação (versão simples): se 0\le u_n \le v_n para todo n suficientemente grande e \sum v_n converge, então \sum u_n também converge.
  • Série-p: a série \sum \dfrac{1}{n^p} converge se, e somente se, p>1. Aqui usaremos que \sum \dfrac{1}{n^3} converge porque 3>1.
    Esses conceitos são suficientes para mostrar convergência absoluta da série dada.

Passo 3

Análise do numerador usando a propriedade da função seno:
  • Como \sin(x)\in[-1,1] para todo x, temos
3 \le 4+\sin\bigl(n^{3}+3n+1\bigr) \le 5
para todo n. Em particular, 4+\sin(\cdot) é sempre positivo (entre 3 e 5), então o valor absoluto do numerador é o próprio numerador.

Passo 4

Passo a estimar o valor absoluto do termo geral:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{4+\sin(\cdot)}{n^{3}+3n+1}. O seu módulo é
|a_n| = \frac{4+\sin\bigl(n^{3}+3n+1\bigr)}{n^{3}+3n+1}.
Usando o majorante do numerador (passo anterior) obtemos
|a_n| \le \frac{5}{n^{3}+3n+1}.
Além disso, para todo n\ge2 vale n^{3}+3n+1 \ge n^{3}, então
\frac{5}{n^{3}+3n+1} \le \frac{5}{n^{3}}.
Combinando:
|a_n| \le \frac{5}{n^{3}} \quad\text{para todo } n\ge2.

Passo 5

Aplicação do teste da comparação com a série-p:
  • Sabemos que \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3}} converge (é uma série-p com p=3>1). Multiplicando por 5 continua convergente, ou seja \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{5}{n^{3}} converge.
  • Como 0\le |a_n| \le \dfrac{5}{n^{3}} para todo n\ge2, pelo teste da comparação concluímos que a série dos módulos \sum_{n=2}^{\infty} |a_n| converge.

Passo 6

Conclusão final sobre a série original:
  • A série converge absolutamente porque \sum |a_n| converge.
  • Logo, a série original \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\bigl[4+\sin(n^{3}+3n+1)\bigr]}{n^{3}+3n+1} também converge (absolutamente, portanto convergente).

Resposta

Converge absolutamente (portanto converge).

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