Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, justificando a afirmação. Informações dadas e observações iniciais:
- O somatório começa em
. - O termo geral é
vezes . - Sabemos que
sempre toma valores no intervalo , então a parte fica entre e . Não uso nada mais do enunciado neste passo.
Passo 2
Vou relembrar definições e testes que vamos usar (explicados de forma prática):
- Uma série
converge absolutamente se converge. Se converge absolutamente, então converge (sempre). - Teste da comparação (versão simples): se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - Série-p: a série
converge se, e somente se, . Aqui usaremos que converge porque .
Esses conceitos são suficientes para mostrar convergência absoluta da série dada.
Passo 3
Análise do numerador usando a propriedade da função seno:
- Como
para todo , temos
para todo
. Em particular,
é sempre positivo (entre
e
), então o valor absoluto do numerador é o próprio numerador.
Passo 4
Passo a estimar o valor absoluto do termo geral:
- O termo geral da série é
. O seu módulo é
Usando o majorante do numerador (passo anterior) obtemos
Além disso, para todo
vale
, então
Combinando:
Passo 5
Aplicação do teste da comparação com a série-p:
- Sabemos que
converge (é uma série-p com ). Multiplicando por continua convergente, ou seja converge. - Como
para todo , pelo teste da comparação concluímos que a série dos módulos converge.
Passo 6
Conclusão final sobre a série original:
- A série converge absolutamente porque
converge. - Logo, a série original
também converge (absolutamente, portanto convergente).
Resposta
Converge absolutamente (portanto converge).