Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{9}{5}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência ou divergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{9}{5}\Bigr)^{n}.
Este é o caso clássico de uma série geométrica, cuja forma geral é
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}
e que converge se, e somente se, \lvert q\rvert<1.

Passo 2

Na série dada, a razão é
q = -\frac{9}{5}.
Calculamos
\lvert q\rvert = \left\lvert -\frac{9}{5}\right\rvert = \frac{9}{5} > 1.
Como \lvert q\rvert>1, a série geométrica não satisfaz o critério de convergência. Além disso, o termo geral
\displaystyle a_{n} = \Bigl(-\frac{9}{5}\Bigr)^{n}
não tende a zero quando n\to\infty, o que já implica divergência pelo teste do termo geral.

Resposta

A série diverge.

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