Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{8}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{3}{8}\Bigr)^{n}.
Este é um caso de série geométrica, cujo teste de convergência e soma dependem unicamente da razão r.

Passo 2

Identificamos a razão da série como
r = -\frac{3}{8}.
Como \lvert r\rvert = \frac{3}{8} < 1, a série converge (critério da série geométrica).

Passo 3

Para séries geométricas com primeiro termo a e razão r tais que \lvert r\rvert<1, a soma é
S = \frac{a}{1 - r}.
Aqui o primeiro termo é
a = \Bigl(-\frac{3}{8}\Bigr)^{0} = 1,
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S = \frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{3}{8}\bigr)} = \frac{1}{1 + \tfrac{3}{8}} = \frac{1}{\tfrac{11}{8}} = \frac{8}{11}.

Resposta

A série converge, e
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{3}{8}\Bigr)^{n} = \frac{8}{11}.

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