Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{\frac{3}{2}}}{\ln (n)};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,n^{\frac32}}{\ln(n)}.
O conteúdo principal é o teste da divergência, que afirma que, se os termos gerais não tendem a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Analisamos o limite do termo geral
a_n = \frac{2\,n^{\frac32}}{\ln(n)}.
Como o numerador cresce polinomialmente ( n^{3/2}) e o denominador só cresce logaritmicamente ( \ln(n)), temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2\,n^{\frac32}}{\ln(n)} = +\infty
(em particular, não tende a zero).

Passo 3

Pela condição necessária de convergência de séries, se \lim_{n\to\infty}a_n \neq 0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
diverge.

Resposta

A série diverge.

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