Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+2 n-1}{6-n^{3}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+2n-1}{6-n^{3}}.
O conteúdo envolvido é teste de divergência (teste do termo geral): se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Vamos chamar
a_n = \frac{n^{3}+2n-1}{6-n^{3}}.
Para descobrir \lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador por n^3:
a_n = \frac{1 + \tfrac{2}{n^2} - \tfrac{1}{n^3}}{\tfrac{6}{n^3} - 1} \;\longrightarrow\; \frac{1 + 0 - 0}{0 - 1} = -1.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n = -1 \neq 0, o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}+2n-1}{6-n^{3}} = -1 \neq 0.

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