Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{2}+1}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da divergência (ou teste do termo geral), que diz: se o termo geral a_n não tende a zero, então a série \sum a_n diverge.

Passo 2

Defina a_n = \frac{n^3}{n^2+1}. Vamos calcular
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n. Dividindo numerador e denominador por n^2, temos
\frac{n^3}{n^2+1} = \frac{n^3/n^2}{(n^2+1)/n^2} = \frac{n}{1 + 1/n^2}.
Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{1 + 1/n^2} = \infty \neq 0.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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