Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{3 n}}{(n+1)!};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{3n}}{(n+1)!}.
O conteúdo principal aqui é testar séries de termos gerais envolvendo exponenciais e fatoriais. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é muito eficiente quando aparece fatoriais no denominador.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{e^{3n}}{(n+1)!}.
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e^{3(n+1)}/\bigl((n+2)!\bigr)}{e^{3n}/\bigl((n+1)!\bigr)} = e^3\;\frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{e^3}{n+2}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty} \frac{e^3}{n+2} = 0 < 1,
o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados