Questão 2 (2,5 pontos) 1,0
Resolva o problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 \quad \sim \text { Resaz }

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com condições iniciais, e pede para resolver usando transformada de Laplace. O conteúdo aqui é a propriedade
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em
y'' + 5y' + 4y = 0
Obtendo
\mathcal{L}\{y''\} + 5\,\mathcal{L}\{y'\} + 4\,\mathcal{L}\{y\} = 0.
Usando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, temos
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s)-s\cdot1-0,\quad \mathcal{L}\{y'\} = sY(s)-1,\quad \mathcal{L}\{y\} = Y(s).

Passo 3

Substituindo na equação transformada:
\bigl(s^2Y(s)-s\bigr) +5\bigl(sY(s)-1\bigr) +4Y(s) = 0.
Agrupando termos em Y(s) e isolando:
Y(s)\bigl(s^2+5s+4\bigr) -s -5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s+5}{s^2+5s+4}.

Passo 4

Fatoramos o denominador e fazemos frações parciais:
s^2+5s+4 = (s+1)(s+4), \qquad \frac{s+5}{(s+1)(s+4)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+4}.
Temos
s+5 = A(s+4)+B(s+1) = (A+B)s + (4A+B).
Igualando coeficientes:
A+B = 1, \quad 4A+B = 5 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{4}{3},\; B = -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace termo a termo:
y(t) = \frac{4}{3}\,e^{-t} \;-\;\frac{1}{3}\,e^{-4t}.

Resposta

y(t) = \frac{4}{3}\,e^{-t} \;-\;\frac{1}{3}\,e^{-4t}.

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