Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, justificando. Informação disponível: o termo geral é
. Não há outros dados. A tarefa é decidir convergência absoluta/condicional (aqui os termos são não negativos a partir de
) e justificar com um teste adequado.
Passo 2
Observação sobre o sinal dos termos e a parte inicial da soma. Para
tem-se
, logo
. Para
temos
, portanto os termos são não negativos a partir de
. Assim basta analisar a soma da cauda (por exemplo a partir de
) para decidir sobre a convergência da série inteira.
Passo 3
Aplicando o teste da comparação direta (uma versão simples e muito útil): se
para todo
suficientemente grande e
diverge, então
também diverge.
Note que para
vale
logo, para
,
Portanto, tomando
(a série harmônica) e
, temos
para todo
.
Passo 4
Como a série harmônica
é divergente, pelo teste da comparação direta a série
também diverge. Acrescentando os primeiros dois termos
não altera a divergência, portanto a série completa
diverge.
Passo 5
(Apresento uma alternativa didática — teste da integral — caso queira ver outra justificativa.) Considere a função
para
. Ela é positiva para
e, verificando a derivada,
portanto
é decrescente para
. Pelo teste integral, a série
converge ou diverge junto com a integral imprópria
.
Calcule a integral por substituição
,
:
Fazendo
obtemos que a integral tende a
, logo diverge. Pelo teste integral, a série
diverge. Essa conclusão coincide com a do passo anterior.
Resposta
A série diverge.