Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}
converge ou diverge, justificando. Informação disponível: o termo geral é a_n=\dfrac{\ln(n)}{n}. Não há outros dados. A tarefa é decidir convergência absoluta/condicional (aqui os termos são não negativos a partir de n\ge2) e justificar com um teste adequado.

Passo 2

Observação sobre o sinal dos termos e a parte inicial da soma. Para n=1 tem-se \ln(1)=0, logo a_1=0. Para n\ge2 temos \ln(n)>0, portanto os termos são não negativos a partir de n=2. Assim basta analisar a soma da cauda (por exemplo a partir de n=3) para decidir sobre a convergência da série inteira.

Passo 3

Aplicando o teste da comparação direta (uma versão simples e muito útil): se 0\le b_n\le a_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.
Note que para n\ge3 vale
\ln(n)\ge\ln(3)>1,
logo, para n\ge3,
\frac{\ln(n)}{n}\ge\frac{1}{n}.
Portanto, tomando b_n=\dfrac{1}{n} (a série harmônica) e a_n=\dfrac{\ln(n)}{n}, temos 0\le b_n\le a_n para todo n\ge3.

Passo 4

Como a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente, pelo teste da comparação direta a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}
também diverge. Acrescentando os primeiros dois termos n=1,2 não altera a divergência, portanto a série completa \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln(n)}{n} diverge.

Passo 5

(Apresento uma alternativa didática — teste da integral — caso queira ver outra justificativa.) Considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x\ge1. Ela é positiva para x>1 e, verificando a derivada,
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}},
portanto f é decrescente para x>e. Pelo teste integral, a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge ou diverge junto com a integral imprópria \int_{1}^{\infty}\dfrac{\ln x}{x}\,dx.
Calcule a integral por substituição u=\ln x, du=\dfrac{dx}{x}:
\int_{1}^{N}\frac{\ln x}{x}\,dx=\int_{0}^{\ln N} u\,du=\frac{(\ln N)^{2}}{2}.
Fazendo N\to\infty obtemos que a integral tende a +\infty, logo diverge. Pelo teste integral, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n} diverge. Essa conclusão coincide com a do passo anterior.

Resposta

A série diverge.

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