Encontre cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação ordinária.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em relação à primeira variável (denotada por
) da função
Informações dadas:
- A função depende de duas variáveis:
e . - Deve-se tratar, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes — aqui vamos derivar em relação a
, portanto será tratada como constante. - Queremos
.
Passo 2
Lembrete do conceito: a derivada parcial
mede como
varia quando apenas
muda e
fica fixo. Na prática, ao diferenciar em relação a
aplicamos as regras normais de diferenciação (como a regra da potência) tratando qualquer fator que dependa somente de
como uma constante multiplicativa.
Passo 3
Observe a estrutura da função:
Aqui
depende apenas de
, logo ao derivar em relação a
esse fator é constante. A regra que vamos usar é a regra da constante multiplicativa: se
com
constante, então
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência para
(regra:
), tem-se
Como
é constante em relação a
, obtemos
Passo 5
Simplificando, a derivada parcial pedida é
Checagem rápida (intuitiva): se
for fixo,
é uma função quadrática em
multiplicada por uma constante
; a derivada de
é
, então o resultado faz sentido.