Encontre cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação ordinária.
f_{1}(r, \theta), onde f(r, \theta)=r^{2} \cos 7 \theta.

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação à primeira variável (denotada por f_{1}(r,\theta)) da função
f(r,\theta)=r^{2}\cos 7\theta.
Informações dadas:
  • A função depende de duas variáveis: r e \theta.
  • Deve-se tratar, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes — aqui vamos derivar em relação a r, portanto \theta será tratada como constante.
  • Queremos f_{1}(r,\theta)=\dfrac{\partial f}{\partial r}(r,\theta).

Passo 2

Lembrete do conceito: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial r} mede como f varia quando apenas r muda e \theta fica fixo. Na prática, ao diferenciar em relação a r aplicamos as regras normais de diferenciação (como a regra da potência) tratando qualquer fator que dependa somente de \theta como uma constante multiplicativa.

Passo 3

Observe a estrutura da função:
f(r,\theta)=\bigl(r^{2}\bigr)\cdot\bigl(\cos 7\theta\bigr).
Aqui \cos 7\theta depende apenas de \theta, logo ao derivar em relação a r esse fator é constante. A regra que vamos usar é a regra da constante multiplicativa: se g(r)=c\cdot h(r) com c constante, então g'(r)=c\cdot h'(r).

Passo 4

Aplicando a regra da potência para \dfrac{d}{dr}r^{2} (regra: \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}), tem-se
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\bigr)=2r.
Como \cos 7\theta é constante em relação a r, obtemos
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\cos 7\theta\bigr)=\cos 7\theta\cdot\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\bigr)=\cos 7\theta\cdot 2r.

Passo 5

Simplificando, a derivada parcial pedida é
\frac{\partial f}{\partial r}(r,\theta)=2r\cos 7\theta.
Checagem rápida (intuitiva): se \theta for fixo, f é uma função quadrática em r multiplicada por uma constante \cos 7\theta; a derivada de r^{2} é 2r, então o resultado faz sentido.

Resposta

f_{1}(r,\theta)=2r\cos 7\theta

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