Encontre cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação ordinária.
g_{2}(\theta, \varphi), onde g(\theta, \varphi)=\operatorname{sen} 2 \theta \cos \varphi.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(\theta,\varphi)=\sin 2\theta \cos\varphi
e pede g_{2}(\theta,\varphi). Aqui vamos entender que g_{2}(\theta,\varphi) significa a derivada parcial de g em relação à segunda variável, ou seja
g_{2}(\theta,\varphi)=\frac{\partial g}{\partial \varphi}(\theta,\varphi).
Informações relevantes:
  • A função é o produto de \sin 2\theta (que depende só de \theta) por \cos\varphi (que depende só de \varphi).
  • Ao calcular \dfrac{\partial g}{\partial \varphi} devemos tratar \theta como constante.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? De forma prática: para obter \dfrac{\partial g}{\partial \varphi} vemos g como função de \varphi mantendo \theta fixo. Formalmente,
\frac{\partial g}{\partial \varphi}(\theta,\varphi)=\lim_{h\to0}\frac{g(\theta,\varphi+h)-g(\theta,\varphi)}{h}.
Uma regra útil (e muito usada) é: se g(\theta,\varphi)=A(\theta)\,B(\varphi) e A(\theta) depende somente de \theta, então ao derivar em relação a \varphi temos A(\theta) como fator constante e só diferenciamos B(\varphi).
Exemplo rápido e intuitivo: se f(x,y)=x^2 y, então \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^2 porque x^2 é tratado como constante.

Passo 3

Reescrevendo explicitamente a função para destacar as dependências:
g(\theta,\varphi)=\sin(2\theta)\cdot\cos\varphi.
Aqui \sin(2\theta) depende apenas de \theta, então ao diferenciarmos em relação a \varphi esse fator é constante.
Também precisamos da derivada ordinária conhecida:
\frac{d}{d\varphi}\cos\varphi=-\sin\varphi.

Passo 4

Aplicando o raciocínio do passo anterior: como \sin(2\theta) é constante em relação a \varphi,
\frac{\partial g}{\partial \varphi}(\theta,\varphi) =\sin(2\theta)\cdot\frac{d}{d\varphi}\big(\cos\varphi\big).
Usando \dfrac{d}{d\varphi}\cos\varphi=-\sin\varphi obtemos
\frac{\partial g}{\partial \varphi}(\theta,\varphi) =\sin(2\theta)\cdot\big(-\sin\varphi\big) =-\sin(2\theta)\sin\varphi.

Passo 5

Observações finais rápidas e motivadoras: a notação g_{2}, g_{\varphi} e \dfrac{\partial g}{\partial \varphi} são equivalentes aqui. Se, na prova, surgir algo parecido — produto de uma função só de \theta por outra só de \varphi — lembre que basta tratar a parte em \theta como constante ao derivar em \varphi. Vai dar certo, respira, e repete o passo!

Resposta

-\sin(2\theta)\sin\varphi

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