Encontre cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação ordinária.
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede
. Aqui vamos entender que
significa a derivada parcial de
em relação à segunda variável, ou seja
Informações relevantes:
- A função é o produto de
(que depende só de ) por (que depende só de ). - Ao calcular
devemos tratar como constante.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? De forma prática: para obter
vemos
como função de
mantendo
fixo. Formalmente,
Uma regra útil (e muito usada) é: se
e
depende somente de
, então ao derivar em relação a
temos
como fator constante e só diferenciamos
.
Exemplo rápido e intuitivo: se
, então
porque
é tratado como constante.
Passo 3
Reescrevendo explicitamente a função para destacar as dependências:
Aqui
depende apenas de
, então ao diferenciarmos em relação a
esse fator é constante.
Também precisamos da derivada ordinária conhecida:
Passo 4
Aplicando o raciocínio do passo anterior: como
é constante em relação a
,
Usando
obtemos
Passo 5
Observações finais rápidas e motivadoras: a notação
,
e
são equivalentes aqui. Se, na prova, surgir algo parecido — produto de uma função só de
por outra só de
— lembre que basta tratar a parte em
como constante ao derivar em
. Vai dar certo, respira, e repete o passo!