Verifique quais das séries abaixo são convergentes, sem necessariamente calcular o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente. Informações dadas e observações iniciais:
- A soma começa em
. - Para
, , então cada termo é bem definido e positivo. - A pergunta é apenas: a série converge ou diverge? (não é pedido o valor da soma).
Passo 2
Primeiro vou fixar a convenção: aqui
denota o logaritmo natural, isto é
. Isso é padrão em análise e facilita as manipulações exponenciais que vou usar.
Passo 3
Vamos manipular a expressão do termo geral para enxergá-lo melhor. Denote
Usando a identidade
(lembrando que
é o logaritmo natural), podemos escrever
Agora calcule
. Como
, obtemos
Logo
Podemos também reescrever
como potência de
. Observe que
quando
é qualquer número; aplicando isso com
temos
Esse formato é muito útil: o expoente
depende de
e cresce (em módulo) conforme
cresce, porque
quando
.
Passo 4
Agora vou comparar
com uma série p conhecida. Para séries do tipo
sabe-se que converge se e somente se
(série p). No nosso caso o expoente é
, que tende a infinito quando
, então para
suficientemente grande teremos
(por exemplo). Formalizando: existe
tal que, para todo
,
Um valor explícito serve: escolher
garante
para todo
(pois
). Note que esse
é apenas para a prova — não precisamos do valor exato — só importa que existe.
Para
temos então
Passo 5
Aplicamos o teste da comparação simples (ou comparação por maiorante): se
para
e
converge, então
também converge. Aqui tomamos
. A série
é convergente porque é uma série
com
. Como os termos iniciais
são finitos em número, adicioná-los não altera a convergência da série total. Portanto
converge.
Passo 6
Resumo intuitivo: os termos
são da forma
e o expoente
cresce sem limite; portanto os termos decaem mais rápido que qualquer potência fixa
para
arbitrariamente grande (ultimamente serão menores que
,
, etc.). Assim a série converge por comparação com uma série p de expoente
.
Resposta
Convergente.