1. Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem.
b) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}}
converge ou diverge. Informação dada: os termos gerais são \,(-1)^{n-1}\dfrac{n}{5^{n}}\, (alternada), com módulo dos termos \dfrac{n}{5^{n}}. A pergunta é apenas sobre convergência/divergência da série infinita.

Passo 2

Ideia/estratégia: testar convergência absoluta (que é um critério forte). Se a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5^{n}}
convergir, então a série alternada original converge (essa é a definição: absoluta implica convergente). Para testar \sum n/5^n uso o teste da razão, que é prático aqui.
Lembrete do teste da razão: para uma série de termos positivos b_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe e L<1, então \sum b_n converge; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da razão aos termos b_n=\dfrac{n}{5^{n}}:
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\dfrac{n+1}{5^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{5^{n}}} =\frac{n+1}{5n}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5n}=\frac{1}{5}.
Como L=\dfrac{1}{5}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{5^{n}} converge. Logo a série original é absolutamente convergente.

Passo 4

Conclusão sobre convergência: absoluta convergência implica convergência. Portanto a série alternada converge. (Raio de conforto: a convergência absoluta é uma garantia forte — não precisamos verificar monotonia dos termos alternados nem usar o critério de Leibniz.)

Passo 5

Opcional — calcular a soma fechada (útil na prova, pode aparecer). Usamos a identidade da série geométrica diferenciada. Para |x|<1 tem-se
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Derivando termo a termo (válido para |x|<1) obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{\,n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x,
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Esta é a fórmula geral que usaremos para calcular a soma da série.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula geral à nossa série. No nosso caso aparece fator alternado e potência de 5. Reescrevo a série como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}} =\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(-\frac{1}{5}\right)^{\,n-1},
ou seja, é \dfrac{1}{5} vezes a série \sum n x^{n-1} com x=-\dfrac{1}{5}. Assim, usando a fórmula,
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}} =\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\bigl(1-(-\tfrac{1}{5})\bigr)^{2}} =\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\left(\tfrac{6}{5}\right)^{2}}.
Fazendo as contas passo a passo:
\left(\tfrac{6}{5}\right)^{2}=\tfrac{36}{25},\qquad \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{36/25}=\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{36}=\frac{25}{180}=\frac{5}{36}.
Portanto, a soma da série é \frac{5}{36}.

Passo 7

Resumo final e incentivo: a série converge absolutamente (portanto converge). Se precisar decorar um truque rápido para somar séries do tipo \sum n r^{n}, lembre-se de derivar a geométrica; é prático e resolve muita coisa em provas. Vai dar certo — respira fundo e pratique mais uns exemplos assim que tiver tempo!

Resposta

Converge absolutamente (logo converge). Soma: \dfrac{5}{36}

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