Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem.
b) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}}
converge ou diverge. Informação dada: os termos gerais são \,(-1)^{n-1}\dfrac{n}{5^{n}}\, (alternada), com módulo dos termos \dfrac{n}{5^{n}}. A pergunta é apenas sobre convergência/divergência da série infinita.
Passo 2
Ideia/estratégia: testar convergência absoluta (que é um critério forte). Se a série dos valores absolutos
convergir, então a série alternada original converge (essa é a definição: absoluta implica convergente). Para testar \sum n/5^n uso o teste da razão, que é prático aqui.
Lembrete do teste da razão: para uma série de termos positivos b_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe e L<1, então \sum b_n converge; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o teste da razão aos termos b_n=\dfrac{n}{5^{n}}:
Como L=\dfrac{1}{5}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{5^{n}} converge. Logo a série original é absolutamente convergente.
Passo 4
Conclusão sobre convergência: absoluta convergência implica convergência. Portanto a série alternada converge. (Raio de conforto: a convergência absoluta é uma garantia forte — não precisamos verificar monotonia dos termos alternados nem usar o critério de Leibniz.)
Passo 5
Opcional — calcular a soma fechada (útil na prova, pode aparecer). Usamos a identidade da série geométrica diferenciada. Para |x|<1 tem-se
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Derivando termo a termo (válido para |x|<1) obtém-se
Resumo final e incentivo: a série converge absolutamente (portanto converge). Se precisar decorar um truque rápido para somar séries do tipo \sum n r^{n}, lembre-se de derivar a geométrica; é prático e resolve muita coisa em provas. Vai dar certo — respira fundo e pratique mais uns exemplos assim que tiver tempo!