Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem.
a) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2}+7}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}+7}
converge ou diverge. Informações dadas: cada termo da soma é da forma (-1)^{n-1}b_n com
b_n=\frac{1}{n^{2}+7},
onde b_n>0 para todo n. A pergunta é: a série converge? Se sim, é convergência condicional ou absoluta?
Passo 2
Entender a estrutura: uma série alternada tem sinais que se alternam (aqui por (-1)^{n-1}). Para aplicar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz) precisamos verificar duas coisas sobre a sequência (b_n):
b_n é monótona não crescente para n suficientemente grande (ou para todo n);
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Vou verificar essas duas propriedades para b_n=\dfrac{1}{n^{2}+7}.
pois o denominador cresce sem limite e o numerador é constante 1.
Passo 5
Aplicando o teste de Leibniz (teste das séries alternadas): se (b_n) é uma sequência de termos positivos, monotônica não crescente a partir de algum índice e com \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n
converge. Já verificamos que (b_n) é decrescente e tende a 0, logo a série dada converge (pelo teste de Leibniz).
Explicação didática rápida do teste de Leibniz: a alternância de sinais faz com que somas parciais se aproximem cada vez mais de um valor limite porque os termos positivos e negativos vão “corrigindo” a soma, e como os módulos dos termos diminuem a zero, as correções ficam cada vez menores.
Passo 6
Agora verificar convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos módulos converge:
Compare com a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, que é uma série p-com p=2>1 e portanto converge (fato conhecido: série p converge se p>1). Note que, para todo n\ge1,
0<\frac{1}{n^{2}+7}\le\frac{1}{n^{2}}.
Pelo teste da comparação (se termos são não negativos e menores que os termos de uma série convergente, então a série comparada converge), segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+7}
converge. Logo a série dos módulos converge, isto é, a série original converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão final combinada: a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n^{2}+7} satisfaz as condições do teste de Leibniz e, além disso, a série dos módulos converge por comparação com a série \sum 1/n^{2}. Portanto a série converge absolutamente; como consequência, ela converge.