- Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
c)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que usemos o teste da raiz para decidir se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. A informação relevante é a expressão do termo geral:
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que diz o teste da raiz (enunciado e interpretação prática), para sabermos o que calcular e como interpretar o resultado.
O teste da raiz diz: seja
uma sequência de termos (podemos tomar
reais ou complexos). Defina
Então:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não dá informação).
Explicando em palavras simples: calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo e vemos seu limite. Se essa raiz tende para algo menor que 1, os termos decaem rápido tipo geométrico e a soma converge; se tende para algo maior que 1, os termos crescem geometricamente e a soma diverge.
Passo 3
Aplicar o teste da raiz ao termo
. Primeiro escrevo a raiz enésima de
:
Como a raiz enésima separa produtos/potências, podemos reescrever:
Agora simplificamos
. Portanto
Passo 4
Precisamos calcular o limite (ou
) quando
da expressão anterior:
Concentremo-nos em
. Para avaliar
usamos logaritmo (técnica padrão para limites com expoentes que dependem de
).
Calculemos o logaritmo natural:
Agora vemos que
(isto é um limite clássico: o log cresce mais devagar que qualquer potência de
). Assim
Como o logaritmo tende a
, voltando pela exponencial:
Passo 5
Substituindo esse resultado em
, obtemos
Portanto o valor do teste da raiz é
.
Passo 6
Interpretando pelo enunciado do teste da raiz: como
, o teste nos diz que a série diverge. Intuição rápida: os termos têm um fator exponencial
que domina o decaimento polinomial
, então os termos não decaem suficientemente para somarem a algo finito.
Passo 7
Observação adicional (confirmação simples): o próprio termo geral
tende a
quando
(porque a exponencial
cresce muito mais rápido que
), então em particular
. Pelo teste do termo geral (se
então a série diverge) já se conclui divergência. Mas como o enunciado pediu explicitamente o teste da raiz, a conclusão principal foi obtida por ele.
Resposta
Divergente.