1. Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
c) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}}
e pede que usemos o teste da raiz para decidir se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. A informação relevante é a expressão do termo geral:
a_n=\frac{2^{n}}{n^{2}}.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que diz o teste da raiz (enunciado e interpretação prática), para sabermos o que calcular e como interpretar o resultado.
O teste da raiz diz: seja (a_n) uma sequência de termos (podemos tomar a_n reais ou complexos). Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Então:
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série \sum a_n diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não dá informação).
Explicando em palavras simples: calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo e vemos seu limite. Se essa raiz tende para algo menor que 1, os termos decaem rápido tipo geométrico e a soma converge; se tende para algo maior que 1, os termos crescem geometricamente e a soma diverge.

Passo 3

Aplicar o teste da raiz ao termo a_n=\dfrac{2^{n}}{n^{2}}. Primeiro escrevo a raiz enésima de |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{2}}}.
Como a raiz enésima separa produtos/potências, podemos reescrever:
\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{2}}}=\frac{\sqrt[n]{2^{n}}}{\sqrt[n]{n^{2}}}.
Agora simplificamos \sqrt[n]{2^{n}}=2. Portanto
\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2}{\sqrt[n]{n^{2}}}.

Passo 4

Precisamos calcular o limite (ou \limsup) quando n\to\infty da expressão anterior:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[n]{n^{2}}}.
Concentremo-nos em \sqrt[n]{n^{2}}=n^{2/n}. Para avaliar \lim_{n\to\infty}n^{2/n} usamos logaritmo (técnica padrão para limites com expoentes que dependem de n).
Calculemos o logaritmo natural:
\ln\!\big(n^{2/n}\big)=\frac{2}{n}\ln n.
Agora vemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0 (isto é um limite clássico: o log cresce mais devagar que qualquer potência de n). Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\ln n=0.
Como o logaritmo tende a 0, voltando pela exponencial:
\lim_{n\to\infty}n^{2/n}=e^{0}=1.

Passo 5

Substituindo esse resultado em L, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2/n}}=\frac{2}{1}=2.
Portanto o valor do teste da raiz é L=2.

Passo 6

Interpretando pelo enunciado do teste da raiz: como L=2>1, o teste nos diz que a série diverge. Intuição rápida: os termos têm um fator exponencial 2^{n} que domina o decaimento polinomial n^{-2}, então os termos não decaem suficientemente para somarem a algo finito.

Passo 7

Observação adicional (confirmação simples): o próprio termo geral a_n=\dfrac{2^{n}}{n^{2}} tende a +\infty quando n\to\infty (porque a exponencial 2^{n} cresce muito mais rápido que n^{2}), então em particular \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0. Pelo teste do termo geral (se \lim a_n\neq 0 então a série diverge) já se conclui divergência. Mas como o enunciado pediu explicitamente o teste da raiz, a conclusão principal foi obtida por ele.

Resposta

Divergente.

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