e pede para verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral da série é \dfrac{(-1)^{n}\, e^{\ln n}}{n^{3}}.
A soma é indexada por n=1,2,3,\dots.
A pergunta é única: classificar a convergência (absoluta, condicional ou divergente).
Passo 2
Simplificar o termo usando propriedades de logaritmo e exponencial. Lembra que para qualquer x>0 vale e^{\ln x}=x. Aqui n é inteiro positivo, logo e^{\ln n}=n. Assim o termo geral simplifica para
Explicando devagar: e^{\ln n} é a função exponencial composta com o logaritmo natural; essas duas são inversas uma da outra quando o argumento é positivo, portanto a composição retorna n.
Passo 3
Simplificar a fração \dfrac{(-1)^{n} n}{n^{3}}. Podemos reduzir n no numerador com uma potência de n no denominador:
Esta é uma série do tipo p-série, isto é, \sum 1/n^{p}. Conhecimento essencial sobre p-séries: a série \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=2, que é maior que 1. Logo a série \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{2} converge (é um exemplo clássico; o valor exato da soma é \pi^{2}/6, mas não precisamos desse número aqui).
Explicando a razão do teste p-série de forma intuitiva: para p>1 os termos \tfrac{1}{n^{p}} decaem suficientemente rápido para que a soma seja finita; para p\le1 a decaída é lenta demais e a soma diverge. Para provas formais usa-se o teste integral ou comparações.
Passo 5
Concluir sobre convergência absoluta: como a série dos módulos
converge, a série original converge absolutamente. Lembrete conceitual: “convergência absoluta” significa que \sum |a_n| converge; isso implica automaticamente que \sum a_n converge (não é necessário aplicar o teste de Leibniz para alternadas, embora ele também mostraria convergência neste caso).
Passo 6
Comentário rápido e motivador: se estiver numa prova e vir e^{\ln n}, sempre simplifique para n antes de qualquer teste — isso já pode transformar bastante o problema. Aqui o reconhecimento levou direto a uma p-série simples, que é das primeiras ferramentas que vale decorar. Força aí — já era ruim e ficou fácil!