Verifique se as séries convergem, divergem, convergem absolutamente ou convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos n}{n^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\cos n}{n^{3}}
converge, e, em caso afirmativo, se a convergência é absoluta ou condicional.
Informações que o enunciado nos dá e que são relevantes:
  • O termo geral é a_n = \dfrac{(-1)^n\cos n}{n^3}.
  • Sabe‑se que \cos n é uma função limitada: para todo n, |\cos n|\le 1.
  • A série de referência para comparação será a série p: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}.

Passo 2

Definição e ferramenta que vamos usar (explicadinha):
  • Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge (isso é um teorema padrão).
  • Teste de comparação simples (forma usada aqui): se 0\le b_n \le c_n para todo n a partir de um índice e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge. Vou aplicar isso com b_n=|a_n|.
  • Lembrete sobre séries p: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p} converge exatamente quando p>1. Aqui usaremos o caso p=3, que converge.

Passo 3

Calcular o módulo do termo geral e comparar com uma p‑série:
O módulo do termo geral é
|a_n|=\left|\frac{(-1)^n\cos n}{n^3}\right|=\frac{|\cos n|}{n^3}.
Pela propriedade de \cos,
0\le |\cos n|\le 1\qquad\text{para todo }n,
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0\le \frac{|\cos n|}{n^3}\le \frac{1}{n^3}\qquad\text{para todo }n.

Passo 4

Aplicar o teste de comparação com a p‑série:
Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^3} converge (porque p=3>1), e tendo a desigualdade
0\le \frac{|\cos n|}{n^3}\le \frac{1}{n^3},
pelo teste de comparação concluímos que a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos n|}{n^3}
converge. Portanto a série original converge absolutamente. Lembrando a implicação: convergência absoluta implica convergência (não há necessidade de testar alternância ou aplicar outros critérios).

Passo 5

Interpretação final e incentivo: a série converge de forma absoluta, então converge normalmente; não é uma convergência condicional. Ótimo — mais um exercício resolvido! Continue assim que está indo bem; estudar pelo raciocínio passo a passo como fizemos aqui ajuda muito na hora da prova.

Resposta

Converge absolutamente (portanto converge).

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