Verifique se as séries convergem, divergem, convergem absolutamente ou convergem condicionalmente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge e, caso convirja, se converge absolutamente ou condicionalmente. As informações dadas são apenas a expressão geral do termo da série:
- O termo geral é
. - Não há outras hipóteses (como sinais alternados) — os termos são positivos para todo
.
Passo 2
Primeiro, observe uma forma útil do termo
. Podemos escrever
Isto mostra que
é o produto da sequência harmônica
por um fator
que tende a um valor limite. Vamos estudar esse fator.
Passo 3
Calcular o limite de
. Use a função exponencial:
Como
(porque
cresce muito mais devagar que
), segue que
Portanto
Passo 4
Comparação assintótica com a série harmônica. Como vimos,
e
, então intuitivamente
é assintoticamente equivalente a
. Para formalizar, aplique o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test). Considere a série de referência
(a série harmônica).
Calcule o limite
Como esse limite é um número finito e positivo (
), o Teste da Comparação por Limite garante que as duas séries têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 5
Concluir usando o comportamento da série harmônica. É conhecido (e pode ser lembrado na prova) que a série harmônica
diverge. Pelo resultado do passo anterior, a série dada tem o mesmo comportamento; logo a série
também diverge.
Como todos os termos
são positivos, “convergência absoluta” é equivalente à convergência ordinária aqui. Portanto, não há convergência absoluta nem condicional: a série simplesmente diverge.
Resposta
A série diverge.
Não converge absolutamente; não converge condicionalmente.
Não converge absolutamente; não converge condicionalmente.