Verifique se as séries convergem, divergem, convergem absolutamente ou convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}
converge ou diverge e, caso convirja, se converge absolutamente ou condicionalmente. As informações dadas são apenas a expressão geral do termo da série:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}.
  • Não há outras hipóteses (como sinais alternados) — os termos são positivos para todo n.

Passo 2

Primeiro, observe uma forma útil do termo a_n. Podemos escrever
a_n=\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n^{1/n}}.
Isto mostra que a_n é o produto da sequência harmônica 1/n por um fator \dfrac{1}{n^{1/n}} que tende a um valor limite. Vamos estudar esse fator.

Passo 3

Calcular o limite de n^{1/n}. Use a função exponencial:
n^{1/n}=e^{\frac{\ln n}{n}}.
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0 (porque \ln n cresce muito mais devagar que n), segue que
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=e^{0}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=1.

Passo 4

Comparação assintótica com a série harmônica. Como vimos,
a_n=\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n^{1/n}}
e \dfrac{1}{n^{1/n}}\to1, então intuitivamente a_n é assintoticamente equivalente a \dfrac{1}{n}. Para formalizar, aplique o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test). Considere a série de referência \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} (a série harmônica).
Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{1}{n^{1+1/n}}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/n}} =1.
Como esse limite é um número finito e positivo ( =1), o Teste da Comparação por Limite garante que as duas séries têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 5

Concluir usando o comportamento da série harmônica. É conhecido (e pode ser lembrado na prova) que a série harmônica
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
diverge. Pelo resultado do passo anterior, a série dada tem o mesmo comportamento; logo a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}
também diverge.
Como todos os termos a_n são positivos, “convergência absoluta” é equivalente à convergência ordinária aqui. Portanto, não há convergência absoluta nem condicional: a série simplesmente diverge.

Resposta

A série diverge.
Não converge absolutamente; não converge condicionalmente.

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