Verifique se as séries convergem, divergem, convergem absolutamente ou convergem condicionalmente.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que verifiquemos se ela converge, diverge, converge absolutamente ou converge condicionalmente.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O termo geral é
. - O valor absoluto dos termos é
. - Precisamos classificar a série entre: divergente, convergente (e, se convergente, se é absolutamente ou condicionalmente).
Passo 2
Vou explicar dois conceitos e testes que vamos usar (sem pressupor que já conheces):
- Definição: uma série
converge absolutamente se converge. Se converge mas diverge, diz-se que a série converge condicionalmente. - Teste do
-série: a série converge se, e somente se, . Aqui é um número real fixo; por exemplo, se a série converge. Uma justificativa simples para este fato é o uso do teste da integral: converge exatamente quando . - Teste de Leibniz (série alternada): se
é uma sequência positiva, decrescente e com , então a série alternada converge. Este teste dá uma forma direta de ver convergência para séries com sinais alternados.
Passo 3
Aplicando o conceito de convergência absoluta: calculemos a série dos valores absolutos
Aqui temos uma
-série com
. Como
, pelo teste do
-série temos que
converge. (Se quiseres ver rápido pelo teste da integral:
finito, o que também mostra convergência.)
Portanto a série dos valores absolutos converge, isto é, a série original converge absolutamente.
Passo 4
Uma observação teórica importante: se uma série converge absolutamente, então ela converge (a convergência absoluta implica convergência usual). Logo, pelo resultado do Passo 3, a série
converge.
Passo 5
Para reforçar a intuição, podemos também aplicar o teste de Leibniz (não necessário agora porque já temos convergência absoluta, mas é didático): tome
. Verificações:
-
para todo . -
, então é decrescente. -
.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada
converge. Isso confirma a convergência já estabelecida; mas como
convergiu, a convergência é, na verdade, absoluta.
Resposta
Converge absolutamente (logo converge).