Verifique se as séries convergem, divergem, convergem absolutamente ou convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}
e pede que verifiquemos se ela converge, diverge, converge absolutamente ou converge condicionalmente.
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é a_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{2}}.
  • O valor absoluto dos termos é |a_n| = \dfrac{1}{n^{2}}.
  • Precisamos classificar a série entre: divergente, convergente (e, se convergente, se é absolutamente ou condicionalmente).

Passo 2

Vou explicar dois conceitos e testes que vamos usar (sem pressupor que já conheces):
  • Definição: uma série \sum a_n converge absolutamente se \sum |a_n| converge. Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se que a série converge condicionalmente.
  • Teste do p-série: a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, p>1. Aqui p é um número real fixo; por exemplo, se p=2 a série converge. Uma justificativa simples para este fato é o uso do teste da integral: \int_1^\infty x^{-p}\,dx converge exatamente quando p>1.
  • Teste de Leibniz (série alternada): se b_n é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada \sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_nconverge. Este teste dá uma forma direta de ver convergência para séries com sinais alternados.

Passo 3

Aplicando o conceito de convergência absoluta: calculemos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Aqui temos uma p-série com p=2. Como 2>1, pelo teste do p-série temos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge. (Se quiseres ver rápido pelo teste da integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1,
finito, o que também mostra convergência.)
Portanto a série dos valores absolutos converge, isto é, a série original converge absolutamente.

Passo 4

Uma observação teórica importante: se uma série converge absolutamente, então ela converge (a convergência absoluta implica convergência usual). Logo, pelo resultado do Passo 3, a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}} converge.

Passo 5

Para reforçar a intuição, podemos também aplicar o teste de Leibniz (não necessário agora porque já temos convergência absoluta, mas é didático): tome b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Verificações:
  • b_n>0 para todo n.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}<\dfrac{1}{n^{2}}=b_n, então b_n é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada \sum (-1)^n b_n converge. Isso confirma a convergência já estabelecida; mas como \sum |a_n| convergiu, a convergência é, na verdade, absoluta.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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