Verifique quando as séries geométricas abaixo convergem ou divergem. E se convergirem qual o valor de sua soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{2^{2 n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{2^{2n}}.
O conteúdo aqui é séries geométricas; vamos usar a condição de convergência |r|<1 e, se convergir, aplicar a fórmula da soma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1-r}.

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
\frac{3^n}{2^{2n}} =\frac{3^n}{(2^2)^n} =\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^n.
Portanto trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a=1 e razão r=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

A série geométrica \sum a\,r^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
\bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|=\tfrac{3}{4}<1,
logo a série converge.

Passo 4

Como converge, sua soma é
S=\frac{a}{1-r} =\frac{1}{1-\tfrac{3}{4}} =4.

Resposta

A série converge e sua soma é 4.

Exercícios relacionados