Seja 0,66666666 \ldots. Podemos escrever tal número como
6 \cdot 0,11111111 \ldots . .=6\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\cdots\right)=\frac{6}{10} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{10^{n}} .
Assim usando as propriedades da série geométrica verifique como representar 0,66666666… na forma de fração, ou melhor, de um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
0,66666666\ldots =6\Bigl(0,11111111\ldots\Bigr) = \frac{6}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n}
e, usando propriedades de séries geométricas, escrever esse número como fração. Vamos usar o fato de que, para |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r}.

Passo 2

Identificamos na soma
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n}
uma série geométrica de razão r=\frac{1}{10}. Aplicando a fórmula, temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n} =\frac{1}{1-\tfrac{1}{10}} =\frac{1}{\tfrac{9}{10}} =\frac{10}{9}.

Passo 3

Substituindo esse resultado na expressão original,
0,66666666\ldots =\frac{6}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n} =\frac{6}{10}\cdot\frac{10}{9}.

Passo 4

Basta simplificar a fração:
\frac{6}{10}\cdot\frac{10}{9} =\frac{6}{9} =\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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