Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita. OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
a_{0}=1 e a_{1}=0 e 2(n+2)(n+1) a_{n+2}+(n+1) a_{n}=0 para n \geq 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{0}=1,\quad a_{1}=0,
e para todo n\ge0
2(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+(n+1)\,a_{n}=0.
O objetivo é (i) calcular os sete primeiros termos a_0,\dots,a_6, (ii) conjecturar uma fórmula fechada para a_n, e (iii) confirmar essa fórmula pelo método da indução finita.

Passo 2

Reescrevendo a recorrência em forma isolada, para n\ge0:
a_{n+2} \;=\;-\,\frac{(n+1)}{2(n+2)(n+1)}\,a_{n} \;=\;-\,\frac{a_{n}}{2(n+2)}.
Tomando a_0=1 e a_1=0, obtemos:
\begin{aligned} n=0 &: \;a_2=-\frac{a_0}{2\cdot2}=-\frac{1}{4},\\\ n=1 &: \;a_3=-\frac{a_1}{2\cdot3}=0,\\\ n=2 &: \;a_4=-\frac{a_2}{2\cdot4}=-\frac{-1/4}{8}=\frac{1}{32},\\\ n=3 &: \;a_5=-\frac{a_3}{2\cdot5}=0,\\\ n=4 &: \;a_6=-\frac{a_4}{2\cdot6}=-\frac{1/32}{12}=-\frac{1}{384}. \end{aligned}

Passo 3

Listando os sete primeiros termos:
a_0=1,\quad a_1=0,\quad a_2=-\tfrac14,\quad a_3=0,\quad a_4=\tfrac1{32},\quad a_5=0,\quad a_6=-\tfrac1{384}.
Vê-se que todos os termos de índice ímpar são zero, e os de índice par alternam sinal com denominador 2^{2k}k!. Para n=2k, os valores são
a_{2k}=(-1)^k\,\frac{1}{2^{2k}\,k!}.
E para n=2k+1, a_{2k+1}=0.

Passo 4

Reescrevemos essa conjectura numa só fórmula:
a_n \;=\; \begin{cases} \dfrac{(-1)^{n/2}}{2^n\,\bigl(\tfrac n2\bigr)!},&\text{se \(n\) é par},\\[1em] 0,&\text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí]

Passo 5

Prova por indução finita sobre k de que a_{2k}=(-1)^k/(2^{2k}k!) e a_{2k+1}=0:
Base k=0:
a_0=\frac{(-1)^0}{2^0\,0!}=1,\quad a_1=0.
Passo indutivo: suponha verdade para k. Então
a_{2(k+1)} = a_{2k+2} = -\frac{a_{2k}}{2(2k+2)} = -\frac{(-1)^k}{2^{2k}k!}\,\frac{1}{4(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k+2}(k+1)!},
e
a_{2(k+1)+1} = a_{2k+3} = -\frac{a_{2k+1}}{2(2k+3)}=0.
Isso completa a indução.

Resposta

Os sete primeiros termos são
1,\;0,\;-\tfrac14,\;0,\;\tfrac1{32},\;0,\;-\tfrac1{384},
e a expressão geral é
a_n = \begin{cases} \dfrac{(-1)^{n/2}}{2^n\,\bigl(\tfrac n2\bigr)!},&\text{se \(n\) é par},\\[0.5em] 0,&\text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí]

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