Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita. OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3. a_{0}=1 e a_{1}=0 e 2(n+2)(n+1) a_{n+2}+(n+1) a_{n}=0 para n \geq 0.
Passo 1
O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{0}=1,\quad a_{1}=0,
e para todo n\ge0
2(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+(n+1)\,a_{n}=0.
O objetivo é (i) calcular os sete primeiros termos a_0,\dots,a_6, (ii) conjecturar uma fórmula fechada para a_n, e (iii) confirmar essa fórmula pelo método da indução finita.
Passo 2
Reescrevendo a recorrência em forma isolada, para n\ge0: