Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
Isso envolve o teste da integral imprópria, pois a função
é contínua, positiva e monotonicamente decrescente para
.
Passo 2
Aplicamos o teste da integral: com a substituição
temos
Passo 3
A integral imprópria
é bem conhecida e diverge, pois
e, ao fazermos
,
.
Passo 4
Como a integral associada diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.