Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)}.
Isso envolve o teste da integral imprópria, pois a função
f(x) = \frac{1}{x \ln(x)}, \quad x\ge2,
é contínua, positiva e monotonicamente decrescente para x\ge2.

Passo 2

Aplicamos o teste da integral: com a substituição
t = \ln(x), \quad dt = \frac{dx}{x},
temos
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln(x)} = \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{dt}{t}.

Passo 3

A integral imprópria
\int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{dt}{t}
é bem conhecida e diverge, pois
\int_{\ln(2)}^{A} \frac{dt}{t} = \bigl[\ln(t)\bigr]_{t=\ln(2)}^{t=A} = \ln\bigl(A\bigr) - \ln\bigl(\ln(2)\bigr)
e, ao fazermos A\to\infty, \ln(A)\to\infty.

Passo 4

Como a integral associada diverge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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