Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}}
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série
de termos positivos. Queremos saber se ela converge. O conteúdo aqui é o teste da razão para séries numéricas.
Passo 2
O teste da razão diz que, se definimos
e calculamos
então:
- se
, a série converge absolutamente; - se
, diverge; - se
, o teste não decide.
Passo 3
Vamos calcular a razão de dois termos consecutivos:
Passo 4
Agora determinamos o limite dessa razão:
pois
Passo 5
Como
, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série
converge.