Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}
de termos positivos. Queremos saber se ela converge. O conteúdo aqui é o teste da razão para séries numéricas.

Passo 2

O teste da razão diz que, se definimos a_n = \frac{n!}{n^n} e calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então:
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, diverge;
  • se L=1, o teste não decide.

Passo 3

Vamos calcular a razão de dois termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n}.

Passo 4

Agora determinamos o limite dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr)^{\!n} =e^{-1},
pois \lim_{m\to\infty}(1-1/m)^m=e^{-1}.

Passo 5

Como L=e^{-1}<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} converge.

Exercícios relacionados