Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação.
sumn=1^infty 1n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1n!
é convergente ou divergente usando o Teste da Comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos comparar com uma série geométrica convergente.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos encontrar uma sequência maior que seja termo a termo comparável. Observe que, para todo n>=3, temos
n! = n,(n-1),(n-2)! ;>=; 2cdot2cdot1 = 4 = 2^2
e, usando indução, mostra-se facilmente que
n!;>=;2^,n-1para todo n>=3
Logo, para n>=3, vale
1n!;<=;12^,n-1

Passo 3

Considere a série de comparação
sumn=3^infty12^,n-1
Essa é uma série geométrica de razão r=tfrac12, que satisfaz |r|<1 e, portanto, é convergente. Como
0<= 1n!<= 12^,n-1
para todo n>=3, o Teste da Comparação garante que
sumn=3^infty1n!
converge. Os termos iniciais n=1 e n=2 formam apenas uma soma finita, que não altera a convergência.

Resposta

A série sumn=1^infty1n! é convergente.

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