Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação.
sumn=1^infty 5 sen^2(n)n!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty 5sin^2(n)n!
usando o teste da comparação. Aqui o conteúdo é séries de termos não-negativos e vamos comparar com uma série conhecida que converge.

Passo 2

Observamos que, para todo inteiro n,
0 <= sin^2(n) <= 1
Multiplicando essa desigualdade por 5/n! (que é sempre positiva), obtemos
0 <= 5sin^2(n)n! <= 5n!

Passo 3

Sabemos que
sumn=1^infty1n!
é a série da expansão de e (menos o n=0), logo ela converge. Como multiplicar por 5 não afeta a convergência, a série
sumn=1^infty5n!
também converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, como
0 <= 5sin^2(n)n! <= 5n!
e sum 5/n! converge, concluímos que
sumn=1^infty5sin^2(n)n!
converge também.

Resposta

A série é convergente.

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