Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
1+12 raiz2+13 raiz3+14 raiz4+15 raiz5+cdots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty1nraizn
usando o Teste da Integral. O conteúdo é o Teste da Integral para séries positivas, e vamos precisar de uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com os termos da série.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1xraizx=x^-tfrac32,
para x>=1. Verificamos que:
  1. f(x)>0 para todo x>=1.
  2. f é contínua em [1,infty), pois não há divisão por zero.
  3. A derivada
f'(x)=-32,x^-tfrac52
é negativa para x>=1, logo f é decrescente.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral, calculando a integral imprópria
integral1^inftyx^-tfrac32,dx =limttoinftyintegral1^tx^-tfrac32,dx =limttoinftyl[-2,x^-tfrac12r]1^t =limttoinftyl(-2,t^-tfrac12+2r) =2
Como essa integral é finita, o Teste da Integral garante que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1nraizn é convergente.

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