Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente usando o Teste da Integral. Para aplicar esse teste precisamos de uma função
tal que
, que seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente para
.
Passo 2
Definimos
É claro que
e
é contínua em
(nem zero nem singularidades para
).
Passo 3
Verificamos se
é decrescente para
. Calculamos a derivada:
Reescrevendo o numerador como
, concluímos que
para todo
. Logo
é decrescente.
Passo 4
Aplicamos o Teste da Integral, estudando
Fazendo a substituição
, vem
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
O valor da integral é finito.
Passo 5
Como
satisfaz as condições de positividade, continuidade e decrescimento, e
, pelo Teste da Integral a série
converge.
Resposta
A série converge.