Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
sumn=1^infty 1n(1+ln ^2(n))

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 1nl(1+ln^2(n)r)
é convergente ou divergente usando o Teste da Integral. Para aplicar esse teste precisamos de uma função f(x) tal que f(n)=an, que seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente para x>=1.

Passo 2

Definimos
f(x) = 1xl(1+ln^2(x)r), x>=1
É claro que f(x)>0 e f é contínua em [1,infty) (nem zero nem singularidades para x>=1).

Passo 3

Verificamos se f é decrescente para x>=1. Calculamos a derivada:
f'(x) = -1cdotl(1+ln^2(x)r) - xcdot 2ln(x)cdot1xx^2l(1+ln^2(x)r)^2 = -1+ln^2(x) - 2ln(x)x^2l(1+ln^2(x)r)^2
Reescrevendo o numerador como l(ln(x)-1r)^2+1>0, concluímos que f'(x)<0 para todo x>=1. Logo f é decrescente.

Passo 4

Aplicamos o Teste da Integral, estudando
integral1^infty dxxl(1+ln^2(x)r)
Fazendo a substituição t=ln(x), vem dt=tfracdxx e, quando x vai de 1 a infty, t vai de 0 a infty. Assim
integral1^infty dxxl(1+ln^2(x)r) = integral0^infty dt1+t^2 = [arctan(t)]0^infty = pi2
O valor da integral é finito.

Passo 5

Como f satisfaz as condições de positividade, continuidade e decrescimento, e
integral1^inftyf(x),dx<infty, pelo Teste da Integral a série
sumn=1^inftyf(n) converge.

Resposta

A série converge.

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