Problema 3. Uma esfera maciça de raio a contem uma carga distribuida uniformemente e densidade rho0. A esfera é envolvida por uma crosta esférica de raio interno b(b>a) e raio externo c e densidade de carga uniforme -rho0. Considere ambos corpos esféricos concêntricos. Mostre que o campo elétrico é dado por:
E(r)=ll rho0 r3 varepsilon0, & r <= a rho0 a^33 varepsilon0 r^2, & a <= r <= b rho0(a^3+b^3-r^3)3 varepsilon0 r^2, & b <= r <= c rho0(a^3+b^3-c^3)3 varepsilon0 r^2, & c <= r

Passo 1

O enunciado descreve dois corpos esféricos concêntricos: uma esfera maciça de raio com densidade de carga uniforme e externo com densidade uniforme . O que nos basta é usar a simetria esférica e a Lei de Gauss:
fazendo uma superfície gaussiana esférica de raio .)

Passo 2

Para r<= a só há carga da esfera interna até r. O carga interna é
Qrm int(r) = integral0^r rho0,4pi r'^2dr' = 4pirho0r^33
Pela Lei de Gauss, como E é radial e constante em magnitude na superfície,
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0;4pirho0r^33 Longrightarrow E(r)=rho0,r3varepsilon0

Passo 3

Para a<= r<= b a casca externa não contribui (a superfície gaussiana está dentro dela), então o único Qrm int é a carga total da esfera de raio a:
Qrm int = 4pirho0a^33
Aplica-se novamente Gauss:
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0;4pirho0a^33 Longrightarrow E(r)=rho0a^33varepsilon0,r^2

Passo 4

Para b<= r<= c temos contribuição da esfera interna e da parte da casca entre b e r. A carga dessa porção de casca é
Qrm casca(bto r) = integralb^r (-rho0),4pi r'^2dr' = -4pirho03l(r^3-b^3r)
Logo o total interno é
Qrm int = 4pirho0a^33 -4pirho03l(r^3-b^3r) = 4pirho03l(a^3+b^3-r^3r)
Pela Lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0;4pirho03l(a^3+b^3-r^3r) Longrightarrow E(r)=rho0l(a^3+b^3-r^3r)3varepsilon0,r^2

Passo 5

Para r>= c a superfície engloba toda a esfera e toda a casca. A carga total da casca é
Qrm casca;total = -4pirho03l(c^3-b^3r),
então
Qrm int = 4pirho0a^33 -4pirho03l(c^3-b^3r) = 4pirho03l(a^3+b^3-c^3r)
De novo pela Lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0;4pirho03l(a^3+b^3-c^3r) Longrightarrow E(r)=rho0l(a^3+b^3-c^3r)3varepsilon0,r^2

Resposta

E(r)= rho0,r3varepsilon0, & r<= a,[6pt] rho0,a^33varepsilon0,r^2, & a<= r<= b,[6pt] rho0l(a^3+b^3-r^3r)3varepsilon0,r^2, & b<= r<= c,[6pt] rho0l(a^3+b^3-c^3r)3varepsilon0,r^2, & r>= c ]

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