Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Razão. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty (2 n)!4^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty (2n)!4^n
usando o teste da razão. O teste da razão diz que, definindo an como o n-ésimo termo da série, se
L = limntoinfty |an+1an|
existe e L<1 então a série converge; se L>1 então diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos
an = (2n)!4^n
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (2n+2)!4^,n+1(2n)!4^n

Passo 3

Simplificando essa expressão, temos
an+1an = (2n+2)!4^,n+1;4^n(2n)! = (2n+2)(2n+1),(2n)!4,(2n)!,4^n,4^n = (2n+2)(2n+1)4

Passo 4

Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty (2n+2)(2n+1)4 = limntoinfty 4n^2 + 6n + 24 = +infty
Como L = +infty > 1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois
L = limntoinfty |an+1an| = +infty > 1

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