e pede para verificar se o sistema é possível ou impossível e se é determinado (única solução) ou indeterminado (infinitas soluções). Vou listar os dados importantes extraídos do enunciado:
Coeficientes das equações: primeira linha (2,\,-1), segunda linha (4,\,-2).
Termos independentes (lado direito): primeiro 3, segundo 6.
Pergunta: o sistema admite soluções? Se sim, é única solução ou infinitas soluções?]
Passo 2
Definições rápidas e úteis (para a prova, decore mentalmente):
Um sistema é determinado quando tem exatamente uma solução.
Um sistema é indeterminado quando tem infinitas soluções.
Um sistema é impossível (inconsistente) quando não tem solução.
Para um sistema 2\times2 com matriz de coeficientes A, se \det A\neq0 então o sistema é determinado (única solução). Se \det A=0, pode ser impossível ou indeterminado; precisa verificar compatibilidade entre as equações.
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes para testar unicidade imediata. A matriz dos coeficientes é
Como \det A=0, não há solução única automática; o sistema pode ser indeterminado ou impossível — precisamos investigar mais.]
Passo 4
Observação direta entre as equações (método rápido e prático na prova): comparar a segunda equação com a primeira multiplicada por um escalar. Multiplicando a primeira equação por 2 obtém-se
Isso é exatamente a segunda equação do sistema. Ou seja, a segunda equação é múltiplo da primeira com o mesmo fator aplicado ao termo independente.
Passo 5
Interpretação do passo anterior: as duas equações são dependentes (linearmente dependentes), não trazem informação nova. Como o mesmo escalar transforma os coeficientes e o termo independente (6=2\cdot3), as equações são compatíveis entre si — não há contradição. Logo o sistema é compatível.
Passo 6
Conclusão sobre existência e quantidade de soluções: sendo as equações proporcionais e compatíveis, o sistema tem infinitas soluções. Formalmente, o posto (rank) da matriz de coeficientes é 1 e o posto da matriz aumentada também é 1, ambos menores que o número de incógnitas 2, o que implica existência infinita de soluções.
Passo 7
Encontrar a forma explícita das soluções (como fazer na prova): basta resolver uma das equações em função de uma incógnita livre. Da primeira equação,
2x-y=3 \quad\Longrightarrow\quad y=2x-3.
Tomando x como parâmetro livre \,t\in\mathbb{R}, obtemos a família de soluções
(x,y)=(t,\,2t-3),\qquad t\in\mathbb{R}.
Resposta
O sistema é possível e indeterminado; conjunto de soluções (x,y)=(t,\,2t-3), t\in\mathbb{R}.