Verifique se o sistema abaixo é possível e determinado:
\left\{\begin{array}{l} 2 x-y=3 \\\\ 4 x-2 y=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2x-y=3,\\[4pt] 4x-2y=6, \end{array}\right.
e pede para verificar se o sistema é possível ou impossível e se é determinado (única solução) ou indeterminado (infinitas soluções). Vou listar os dados importantes extraídos do enunciado:
  • Coeficientes das equações: primeira linha (2,\,-1), segunda linha (4,\,-2).
  • Termos independentes (lado direito): primeiro 3, segundo 6.
  • Pergunta: o sistema admite soluções? Se sim, é única solução ou infinitas soluções?]

Passo 2

Definições rápidas e úteis (para a prova, decore mentalmente):
  • Um sistema é determinado quando tem exatamente uma solução.
  • Um sistema é indeterminado quando tem infinitas soluções.
  • Um sistema é impossível (inconsistente) quando não tem solução.
  • Para um sistema 2\times2 com matriz de coeficientes A, se \det A\neq0 então o sistema é determinado (única solução). Se \det A=0, pode ser impossível ou indeterminado; precisa verificar compatibilidade entre as equações.

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes para testar unicidade imediata. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[2pt] 4 & -2\end{pmatrix}.
O determinante é
\det A=\begin{vmatrix}2 & -1 \\[2pt] 4 & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-4\cdot(-1)=-4+4=0.
Como \det A=0, não há solução única automática; o sistema pode ser indeterminado ou impossível — precisamos investigar mais.]

Passo 4

Observação direta entre as equações (método rápido e prático na prova): comparar a segunda equação com a primeira multiplicada por um escalar. Multiplicando a primeira equação por 2 obtém-se
2\cdot(2x-y)=2\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad 4x-2y=6.
Isso é exatamente a segunda equação do sistema. Ou seja, a segunda equação é múltiplo da primeira com o mesmo fator aplicado ao termo independente.

Passo 5

Interpretação do passo anterior: as duas equações são dependentes (linearmente dependentes), não trazem informação nova. Como o mesmo escalar transforma os coeficientes e o termo independente ( 6=2\cdot3), as equações são compatíveis entre si — não há contradição. Logo o sistema é compatível.

Passo 6

Conclusão sobre existência e quantidade de soluções: sendo as equações proporcionais e compatíveis, o sistema tem infinitas soluções. Formalmente, o posto (rank) da matriz de coeficientes é 1 e o posto da matriz aumentada também é 1, ambos menores que o número de incógnitas 2, o que implica existência infinita de soluções.

Passo 7

Encontrar a forma explícita das soluções (como fazer na prova): basta resolver uma das equações em função de uma incógnita livre. Da primeira equação,
2x-y=3 \quad\Longrightarrow\quad y=2x-3.
Tomando x como parâmetro livre \,t\in\mathbb{R}, obtemos a família de soluções
(x,y)=(t,\,2t-3),\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado; conjunto de soluções (x,y)=(t,\,2t-3), t\in\mathbb{R}.

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