Prove que para todo
e
, valem as relações:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
com
, vale a relação
Informações e condições dadas:
- O domínio considerado é
com exclusão dos pontos listados. - Nas convenções usuais temos
e . - Note que nos pontos onde
(isto é, ) as funções e não estão definidas; por isso é necessário excluir esses pontos antes de dividir por .
Passo 2
Lembrar e explicitar as definições que vamos usar (sempre útil para a prova):
- A tangente é definida por
desde que
.
- A secante é definida por
desde que
.
Explicação rápida: e
são as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo
no círculo trigonométrico unitário; dividir por
é legítimo apenas quando
não é zero.
Explicação rápida:
Passo 3
Usar a identidade pitagórica fundamental da trigonometria:
Breve justificativa: no círculo unitário as coordenadas satisfazem
. Essa é a origem da identidade.
Passo 4
Dividir a identidade pitagórica por
. Isso é permitido porque, pela hipótese do enunciado (e pelo motivo explicado no Passo 2), estamos considerando apenas
com
. Fazendo a divisão:
Passo 5
Simplificar cada termo da igualdade do Passo 4, usando as definições do Passo 2:
-
. -
. -
.
Portanto a igualdade do Passo 4 fica
Passo 6
Isolar
subtraindo
dos dois lados:
Esta é exatamente a relação que queríamos demonstrar. Observação final: a única condição necessária para os passos acima (especialmente para dividir por
) é
; por isso foi preciso excluir
e
. Nos pontos
a identidade também é válida (ambos os lados estão definidos e iguais), embora o enunciado os tenha excluído.