Prove que para todo x \in[0,2 \pi] e x \notin\left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right\}, valem as relações:
(\operatorname{tg} x)(\operatorname{tg} x)=(\operatorname{sec} x)(\operatorname{sec} x)-1

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo x \in[0,2\pi] com x \notin\left\{0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right\}, vale a relação
(\operatorname{tg} x)(\operatorname{tg} x)=(\operatorname{sec} x)(\operatorname{sec} x)-1.
Informações e condições dadas:
  • O domínio considerado é x\in[0,2\pi] com exclusão dos pontos listados.
  • Nas convenções usuais temos \operatorname{tg} x=\tan x e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • Note que nos pontos onde \cos x=0 (isto é, x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}) as funções \tan e \operatorname{sec} não estão definidas; por isso é necessário excluir esses pontos antes de dividir por \cos x.

Passo 2

Lembrar e explicitar as definições que vamos usar (sempre útil para a prova):
  • A tangente é definida por
\operatorname{tg} x=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},
desde que \cos x\neq0.
  • A secante é definida por
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},
desde que \cos x\neq0.
Explicação rápida: \sin x e \cos x são as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo x no círculo trigonométrico unitário; dividir por \cos x é legítimo apenas quando \cos x não é zero.

Passo 3

Usar a identidade pitagórica fundamental da trigonometria:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Breve justificativa: no círculo unitário as coordenadas satisfazem (\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1. Essa é a origem da identidade.

Passo 4

Dividir a identidade pitagórica por \cos^2 x. Isso é permitido porque, pela hipótese do enunciado (e pelo motivo explicado no Passo 2), estamos considerando apenas x com \cos x\neq0. Fazendo a divisão:
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}.

Passo 5

Simplificar cada termo da igualdade do Passo 4, usando as definições do Passo 2:
  • \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=(\dfrac{\sin x}{\cos x})^2=(\tan x)^2.
  • \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=1.
  • \dfrac{1}{\cos^2 x}=(\operatorname{sec} x)^2.
    Portanto a igualdade do Passo 4 fica
\tan^2 x + 1 = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Isolar \tan^2 x subtraindo 1 dos dois lados:
\tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x - 1.
Esta é exatamente a relação que queríamos demonstrar. Observação final: a única condição necessária para os passos acima (especialmente para dividir por \cos^2 x) é \cos x\neq0; por isso foi preciso excluir x=\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{3\pi}{2}. Nos pontos x=0,\pi,2\pi a identidade também é válida (ambos os lados estão definidos e iguais), embora o enunciado os tenha excluído.

Resposta

\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1

Exercícios relacionados