possível e determinado (tem exatamente uma solução),
possível e indeterminado (tem infinitas soluções),
ou impossível (não tem solução).
Informações relevantes dadas (retiradas diretamente do enunciado):
As três equações são x+y+z=1, 2x+2y+2z=2 e x+y+z=3.]
Passo 2
Escolha do método. Não foi exigido um método específico, então vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) porque é direto, prático para ver redundâncias e contradições, e fácil de aplicar sem cálculo complexo. Também vou explicar o conceito de posto (rank) e a condição de compatibilidade (teorema de Rouché–Capelli) para interpretar o resultado.
Breve explicação do que vou usar:
Eliminação de Gauss: aplicar operações nas linhas do sistema (ou do matríz aumentada) para simplificar e evidenciar se há solução e quantas.
Teorema de Rouché–Capelli (explicado depois): compara o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada para decidir compatibilidade.
Passo 3
Escrever a matriz aumentada do sistema. É a forma conveniente para aplicar eliminações:
Interpretação direta do resultado da eliminação. A terceira linha agora é
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 2,
ou seja, 0 = 2, que é uma contradição lógica (impossível). Isso mostra que não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 6
Explicação pelo ponto de vista de posto (rank) e do teorema de Rouché–Capelli, para consolidar o entendimento.
Definição rápida e intuitiva de posto: o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Em termos práticos na eliminação, é o número de linhas não-nulas que restam depois de reduzir a matriz por linhas.
Matriz dos coeficientes (sem a coluna dos termos independentes) é
Observação: todas as linhas são múltiplos umas das outras (por exemplo, a segunda é 2 vezes a primeira), então o posto da matriz dos coeficientes é \,1.
Matriz aumentada, após redução, ficou com duas linhas não-nulas (a primeira e a terceira linha reduzem a uma linha não-nula do tipo (0,0,0\mid2)), portanto o posto da matriz aumentada é \,2.
Teorema de Rouché–Capelli: um sistema linear é compatível (tem solução) se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada. Se esses postos forem diferentes, o sistema é incompatível (não tem solução).
Aqui temos:
\text{posto da matriz dos coeficientes} = 1,\qquad \text{posto da matriz aumentada} = 2,
portanto os postos são diferentes e, pela condição acima, o sistema é incompatível.]
Passo 7
Resumo do raciocínio de forma direta e encorajadora: ao fazer eliminação obtivemos a equação contraditória 0=2, e a comparação de postos confirma que a matriz aumentada tem posto maior que a matriz de coeficientes. Ambos os caminhos mostram que não existe solução para o sistema.