Verifique se os sistemas abaixo são lineares:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se o sistema
é linear ou não.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares, que gira em torno do princípio da superposição (adição + homogeneidade).
O que vamos precisar:
- Entender que, num sistema linear, se você colocar a soma de dois sinais de entrada, a saída é a soma das saídas individuais (adição).
- Se você escalar a entrada por um fator, a saída também escala pelo mesmo fator (homogeneidade).
- Testar essas duas propriedades no nosso sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos testar a homogeneidade. Seja
uma entrada qualquer e
a saída correspondente, que satisfaz
Agora defina uma nova entrada escalada:
. Se o sistema fosse linear, a saída correspondente seria
. Vamos ver o que acontece de verdade:
Substituindo na equação, chamamos a saída de
:
Substituindo
Percebe? Do lado direito apareceu
, não
.
Passo 3
Se o sistema fosse linear, teríamos
o que daria saída
. Mas no nosso caso deu
, logo a saída genuína
não é
.
Isso já é suficiente pra dizer que a homogeneidade falhou, ou seja, o sistema não responde com o mesmo fator de escala.
Passo 4
Como a homogeneidade não se mantém, o princípio de superposição (adição+homogeneidade) também é quebrado. Não precisamos nem checar a adição, porque basta uma contraprova pra concluir que não é linear.
Resposta
O sistema
é não linear, pois a entrada é multiplicada por sua própria derivada, violando a homogeneidade.
é não linear, pois a entrada é multiplicada por sua própria derivada, violando a homogeneidade.