Verifique se os sistemas abaixo são lineares:
d y(t)d t+2 y(t)=x(t) d xd t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se o sistema
d y(t)d t + 2,y(t) = x(t),d x(t)d t
é linear ou não.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares, que gira em torno do princípio da superposição (adição + homogeneidade).
O que vamos precisar:
- Entender que, num sistema linear, se você colocar a soma de dois sinais de entrada, a saída é a soma das saídas individuais (adição).
- Se você escalar a entrada por um fator, a saída também escala pelo mesmo fator (homogeneidade).
- Testar essas duas propriedades no nosso sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a homogeneidade. Seja d y(t)d t + 2,y(t) = x(t),d x(t)d t uma entrada qualquer e d yalphad t + 2,yalpha = xalpha(t),d xalpha(t)d t = (alpha,x(t));d(alpha,x(t))d t = alpha,x(t);l(alpha,d x(t)d tr) = alpha^2,x(t),d x(t)d t a saída correspondente, que satisfaz
Agora defina uma nova entrada escalada: . Se o sistema fosse linear, a saída correspondente seria . Vamos ver o que acontece de verdade:
Substituindo na equação, chamamos a saída de :
Percebe? Do lado direito apareceu , não .

Passo 3

Se o sistema fosse linear, teríamos
d yalphad t + 2,yalpha ;=;alpha;l(x(t),tfracd x(t)d tr),
o que daria saída . Mas no nosso caso deu , logo a saída genuína não é .
Isso já é suficiente pra dizer que a homogeneidade falhou, ou seja, o sistema não responde com o mesmo fator de escala.

Passo 4

Como a homogeneidade não se mantém, o princípio de superposição (adição+homogeneidade) também é quebrado. Não precisamos nem checar a adição, porque basta uma contraprova pra concluir que não é linear.

Resposta

O sistema

é não linear, pois a entrada é multiplicada por sua própria derivada, violando a homogeneidade.

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