Verifique se
é solução do PVI:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
- O enunciado pergunta se a função candidata
é uma solução desse PVI (isto é, se essa função satisfaz tanto a equação diferencial para todo
no domínio quanto a condição inicial em
).
Passo 2
O que significa verificar se uma função
é solução de um PVI?
- Significado: uma função
é solução do PVI se, para todo no domínio considerado, ela satisfaz a igualdade da equação diferencial (a derivada de é igual ao lado direito quando é substituída) e, além disso, satisfaz a condição inicial valor dado. - Estratégia prática: calcular a derivada
da função candidata, substituir e na equação e verificar se a igualdade é verdadeira para todo . Depois verificar se coincide com a condição inicial.
Passo 3
Calcular a derivada da função candidata
.
- Lembrete: a derivada de uma função constante é zero. Formalmente,
- Portanto, para a candidata temos
Passo 4
Substituir
e
na equação diferencial e verificar a igualdade.
- Substituindo os valores obtidos:
- Comparando,
Essa igualdade só é verdadeira quando
. Para qualquer
temos
. Portanto a função
não satisfaz a equação diferencial para todos os
; ela só satisfaz no ponto isolado
.
Passo 5
Verificar a condição inicial
.
- Para a candidata
temos
- A condição inicial exigida pelo PVI é
. Como
a condição inicial não é satisfeita.
Passo 6
Conclusão lógica final e comentário rápido de incentivo.
- Para ser solução do PVI é necessário satisfazer simultaneamente a equação diferencial em todo o domínio e a condição inicial em
. A função falha em ambas: não satisfaz a equação diferencial para e não satisfaz a condição inicial em . - Portanto,
não é solução do PVI. Boa! Você agora sabe exatamente como checar: derivar, substituir e conferir a condição inicial — três passos rápidos que funcionam sempre. Continue que tá indo bem!
Resposta
Não,
não é solução do PVI.