Verifique se y(t)=1 é solução do PVI:
\begin{aligned} \dot{y}(t)(t) & =t(1+y(t)) \\\ y(0) & =-1 \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
\dot{y}(t)=t\bigl(1+y(t)\bigr)
y(0)=-1
  • O enunciado pergunta se a função candidata
y(t)=1
é uma solução desse PVI (isto é, se essa função satisfaz tanto a equação diferencial para todo t no domínio quanto a condição inicial em t=0).

Passo 2

O que significa verificar se uma função y(t) é solução de um PVI?
  • Significado: uma função y(t) é solução do PVI se, para todo t no domínio considerado, ela satisfaz a igualdade da equação diferencial (a derivada de y é igual ao lado direito quando y é substituída) e, além disso, satisfaz a condição inicial y(0)= valor dado.
  • Estratégia prática: calcular a derivada \dot{y}(t) da função candidata, substituir \dot{y}(t) e y(t) na equação \dot{y}(t)=t(1+y(t)) e verificar se a igualdade é verdadeira para todo t. Depois verificar se y(0) coincide com a condição inicial.

Passo 3

Calcular a derivada da função candidata y(t)=1.
  • Lembrete: a derivada de uma função constante é zero. Formalmente,
\frac{d}{dt}1=0.
  • Portanto, para a candidata temos
\dot{y}(t)=0.

Passo 4

Substituir \dot{y}(t) e y(t) na equação diferencial e verificar a igualdade.
  • Substituindo os valores obtidos:
\text{LHS}=\dot{y}(t)=0.
\text{RHS}=t\bigl(1+y(t)\bigr)=t\bigl(1+1\bigr)=t\cdot 2=2t.
  • Comparando,
0 \stackrel{?}{=} 2t.
Essa igualdade só é verdadeira quando t=0. Para qualquer t\neq 0 temos 0\neq 2t. Portanto a função y(t)=1 não satisfaz a equação diferencial para todos os t; ela só satisfaz no ponto isolado t=0.

Passo 5

Verificar a condição inicial y(0)=-1.
  • Para a candidata y(t)=1 temos
y(0)=1.
  • A condição inicial exigida pelo PVI é y(0)=-1. Como
1 \neq -1,
a condição inicial não é satisfeita.

Passo 6

Conclusão lógica final e comentário rápido de incentivo.
  • Para ser solução do PVI é necessário satisfazer simultaneamente a equação diferencial em todo o domínio e a condição inicial em t=0. A função y(t)=1 falha em ambas: não satisfaz a equação diferencial para t\neq0 e não satisfaz a condição inicial em t=0.
  • Portanto, y(t)=1 não é solução do PVI. Boa! Você agora sabe exatamente como checar: derivar, substituir e conferir a condição inicial — três passos rápidos que funcionam sempre. Continue que tá indo bem!

Resposta

Não, y(t)=1 não é solução do PVI.

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