Determine a solução geral das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas (EDO LNH) dadas
2 \dot{y}(t)+y(t)=t-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea
2\dot{y}(t)+y(t)=t-1.
O que se pede: determinar a solução geral y(t), ou seja, todas as soluções possíveis envolvendo a constante arbitrária que aparece por integrar uma EDO de primeira ordem. As informações relevantes são apenas a equação acima e que a incógnita é a função y(t).

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a EDO na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem
\dot{y}(t)+p(t)y(t)=g(t).
Dividindo a equação dada por 2 obtemos a forma padrão. Vou escrever isso explicitamente:
\dot{y}(t)+\frac{1}{2}y(t)=\frac{t-1}{2}.
Aqui p(t)=\dfrac{1}{2} e g(t)=\dfrac{t-1}{2}. Explico o porquê de escrever assim: a teoria das EDOs lineares diz que a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. Vou seguir esse procedimento — é prático e direto.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
\dot{y}(t)+\frac{1}{2}y(t)=0.
Isto é uma EDO separável (ou pode usar a fórmula geral abaixo). Faço separação de variáveis: escrevo \dfrac{\dot{y}}{y}=-\dfrac{1}{2}. Integrando ambos os lados em t,
\int \frac{\dot{y}}{y}\,dt = \int -\frac{1}{2}\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|y| e do direito é -\dfrac{1}{2}t mais constante. Assim
\ln|y|=-\frac{1}{2}t + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
y_h(t)=C e^{-t/2},
onde usei C=\pm e^{C_1} e deixei C como a constante arbitrária (real). Este y_h(t) é a solução geral da homogênea.
Observação didática rápida: para qualquer EDO linear de primeira ordem na forma \dot{y}+p(t)y=0, a solução geral é y_h(t)=C e^{-\int p(t)\,dt}. Aqui \int p(t)\,dt=\int \tfrac{1}{2}\,dt=\tfrac{1}{2}t.

Passo 4

Agora preciso de uma solução particular y_p(t) da equação completa
\dot{y}(t)+\frac{1}{2}y(t)=\frac{t-1}{2}.
Escolho o método dos coeficientes indeterminados, que é simples quando o termo à direita \dfrac{t-1}{2} é um polinômio (grau 1). A ideia: assumir uma forma polinomial para y_p do mesmo grau, isto é
y_p(t)=a t + b,
onde a e b são constantes a determinar. Calculo a derivada:
\dot{y}_p(t)=a.
Substituo y_p e \dot{y}_p na equação padrão:
a + \frac{1}{2}(a t + b)=\frac{t-1}{2}.
Multiplico ambos os lados por 2 para evitar frações:
2a + (a t + b)=t-1.
Organizo os termos por potências de t:
a t + (2a + b)=t-1.
Agora igualo coeficientes de t e constantes (método habitual para polinômios):
  • Coeficiente de t: \;a = 1.
  • Coeficiente constante: \;2a + b = -1.
Com a=1 substituo na segunda equação:
2\cdot 1 + b = -1 \quad\Rightarrow\quad b = -3.
Logo a solução particular é
y_p(t)=t-3.

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é a soma da solução homogênea mais uma solução particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C e^{-t/2} + t - 3,
onde C é constante arbitrária real. Pequena verificação rápida (opcional): pode-se derivar y, substituir na equação original e conferir que a igualdade se cumpre; isto confirma os cálculos.

Resposta

y(t)=C e^{-t/2}+t-3

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