Determine a solução geral das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas (EDO LNH) dadas
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea
O que se pede: determinar a solução geral
, ou seja, todas as soluções possíveis envolvendo a constante arbitrária que aparece por integrar uma EDO de primeira ordem. As informações relevantes são apenas a equação acima e que a incógnita é a função
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a EDO na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem
Dividindo a equação dada por
obtemos a forma padrão. Vou escrever isso explicitamente:
Aqui
e
. Explico o porquê de escrever assim: a teoria das EDOs lineares diz que a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. Vou seguir esse procedimento — é prático e direto.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Isto é uma EDO separável (ou pode usar a fórmula geral abaixo). Faço separação de variáveis: escrevo
. Integrando ambos os lados em
,
A integral do lado esquerdo é
e do direito é
mais constante. Assim
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde usei
e deixei
como a constante arbitrária (real). Este
é a solução geral da homogênea.
Observação didática rápida: para qualquer EDO linear de primeira ordem na forma
, a solução geral é
. Aqui
.
Passo 4
Agora preciso de uma solução particular
da equação completa
Escolho o método dos coeficientes indeterminados, que é simples quando o termo à direita
é um polinômio (grau 1). A ideia: assumir uma forma polinomial para
do mesmo grau, isto é
onde
e
são constantes a determinar. Calculo a derivada:
Substituo
e
na equação padrão:
Multiplico ambos os lados por
para evitar frações:
Organizo os termos por potências de
:
Agora igualo coeficientes de
e constantes (método habitual para polinômios):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Com
substituo na segunda equação:
Logo a solução particular é
Passo 5
A solução geral da EDO não homogênea é a soma da solução homogênea mais uma solução particular:
onde
é constante arbitrária real. Pequena verificação rápida (opcional): pode-se derivar
, substituir na equação original e conferir que a igualdade se cumpre; isto confirma os cálculos.