Resolva a equação de Bernoulli abaixo, fazendo-se z=y^{1-n}
t^{2} \dot{y}(t)+2 t y(t)=y(t)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
t^{2}\dot{y}(t)+2t\,y(t)=y(t)^{3},
e pede para resolvê-la fazendo a substituição \;z=y^{1-n}\;. As informações relevantes que temos são:
  • A equação envolve a derivada \dot{y}(t)=\dfrac{dy}{dt}.
  • Ao colocar a equação na forma padrão de Bernoulli, o expoente da não linearidade é n=3 (porque aparece y^{3} no lado direito).
  • A substituição sugerida fica então \;z=y^{1-n}=y^{1-3}=y^{-2}.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(t) (e observar soluções singulares possíveis, como y\equiv0). Não resolvo nada ainda neste passo.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação na forma habitual (dividindo por t^{2}, assumindo t\neq0):
\dot{y} + \frac{2}{t}y = \frac{y^{3}}{t^{2}}.
Explicação curta: dividir por t^{2} é permitido sempre que t\neq0. Fiz isso para deixar a equação no formato padrão de Bernoulli
\dot{y} + P(t)\,y = Q(t)\,y^{n},
onde aqui P(t)=\dfrac{2}{t}, Q(t)=\dfrac{1}{t^{2}} e n=3.

Passo 3

Agora aplicamos a substituição de Bernoulli. Para generalidade, quando se tem uma equação de Bernoulli \dot{y}+P(t)y=Q(t)y^{n}, a substituição clássica é
z = y^{\,1-n}.
Explico por que: essa escolha transforma a equação não linear em uma equação linear em z. No nosso caso, com n=3,
z = y^{-2}.
Note que essa substituição exige y(t)\neq0 (pois y^{-2} não está definida em y=0). Veremos a solução y\equiv0 separadamente.

Passo 4

Calculemos a derivada de z em função de y e \dot{y}. Como z=y^{-2},
\dot{z} = \frac{d}{dt}\big(y^{-2}\big) = -2 y^{-3}\dot{y}.
Isto vem da regra da cadeia: derivada de y^{-2} em relação a y é -2 y^{-3}, multiplicada por \dot{y}. Desta identidade isolamos y^{-3}\dot{y}, que aparece ao multiplicar a equação original por y^{-3}:
y^{-3}\dot{y} = -\frac{1}{2}\dot{z}.

Passo 5

Multiplicamos a forma dividida da equação por y^{-3} para obter termos em y^{-3}\dot{y} e y^{-2}:
y^{-3}\dot{y} + \frac{2}{t}y^{-2} = \frac{1}{t^{2}}.
Agora substituímos y^{-3}\dot{y} = -\dfrac{1}{2}\dot{z} e y^{-2}=z. Isso transforma a equação em uma equação linear para z:
-\frac{1}{2}\dot{z} + \frac{2}{t}z = \frac{1}{t^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por -2 para ficar no formato padrão \dot{z}+p(t)z=q(t), obtemos
\dot{z} - \frac{4}{t} z = -\frac{2}{t^{2}}.
Aqui já temos uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 6

Resolvemos a equação linear
\dot{z} - \frac{4}{t} z = -\frac{2}{t^{2}}.
Método (explicação didática): para uma equação linear de forma \dot{z}+p(t)z=q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big),
que torna a equação equivalente a \dfrac{d}{dt}\big(\mu z\big)=\mu q. No nosso caso p(t)=-\dfrac{4}{t}, logo
\mu(t)=\exp\!\Big(\int -\frac{4}{t}\,dt\Big)=\exp(-4\ln|t|)=t^{-4},
assumindo t\neq0. Multiplicamos a equação por \mu(t)=t^{-4}:
t^{-4}\dot{z} - 4 t^{-5} z = -2 t^{-6}.
O lado esquerdo é exatamente \dfrac{d}{dt}\big(t^{-4} z\big). Então
\frac{d}{dt}\big(t^{-4} z\big) = -2 t^{-6}.

Passo 7

Integramos ambos os lados em t:
t^{-4} z = \int -2 t^{-6}\,dt = -2\cdot\frac{t^{-5}}{-5} + C = \frac{2}{5}t^{-5} + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por t^{4} obtemos
z(t) = C t^{4} + \frac{2}{5}t^{-1}.
Esta é a solução geral para z (válida para t\neq0).

Passo 8

Voltando à variável original y: lembrando que z=y^{-2}, temos
y^{-2} = C t^{4} + \frac{2}{5}t^{-1}.
Invertendo e extraindo raiz quadrada:
y^{2} = \frac{1}{C t^{4} + \dfrac{2}{5}t^{-1}}, \qquad y(t) = \pm\left(C t^{4} + \frac{2}{5}t^{-1}\right)^{-1/2}.
Além disso, como observado antes, y\equiv0 também satisfaz a equação original (pois substituindo y=0 a equação reduz-se a 0=0), e não foi capturada pela substituição z=y^{-2}. Portanto devemos incluir y\equiv0 como solução singular.
Observações sobre domínio e constantes:
  • As soluções escritas exigem t\neq0.
  • C é constante real arbitrária (pode ser renomeada, por exemplo C\in\mathbb{R}).
  • O sinal \pm aparece porque tomamos raiz quadrada ao isolar y.

Resposta

y(t)=0
y(t)=\pm\left(C t^{4}+\dfrac{2}{5}t^{-1}\right)^{-1/2},\qquad t\neq0,\;C\in\mathbb{R}

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