Resolva a equação de Bernoulli abaixo, fazendo-se
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolvê-la fazendo a substituição
. As informações relevantes que temos são:
- A equação envolve a derivada
. - Ao colocar a equação na forma padrão de Bernoulli, o expoente da não linearidade é
(porque aparece no lado direito). - A substituição sugerida fica então
.
O objetivo é encontrar a solução geral(e observar soluções singulares possíveis, como ). Não resolvo nada ainda neste passo.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação na forma habitual (dividindo por
, assumindo
):
Explicação curta: dividir por
é permitido sempre que
. Fiz isso para deixar a equação no formato padrão de Bernoulli
onde aqui
,
e
.
Passo 3
Agora aplicamos a substituição de Bernoulli. Para generalidade, quando se tem uma equação de Bernoulli
, a substituição clássica é
Explico por que: essa escolha transforma a equação não linear em uma equação linear em
. No nosso caso, com
,
Note que essa substituição exige
(pois
não está definida em
). Veremos a solução
separadamente.
Passo 4
Calculemos a derivada de
em função de
e
. Como
,
Isto vem da regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
, multiplicada por
. Desta identidade isolamos
, que aparece ao multiplicar a equação original por
:
Passo 5
Multiplicamos a forma dividida da equação por
para obter termos em
e
:
Agora substituímos
e
. Isso transforma a equação em uma equação linear para
:
Multiplicando ambos os lados por
para ficar no formato padrão
, obtemos
Aqui já temos uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 6
Resolvemos a equação linear
Método (explicação didática): para uma equação linear de forma
, define-se o fator integrante
que torna a equação equivalente a
. No nosso caso
, logo
assumindo
. Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente
. Então
Passo 7
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
obtemos
Esta é a solução geral para
(válida para
).
Passo 8
Voltando à variável original
: lembrando que
, temos
Invertendo e extraindo raiz quadrada:
Além disso, como observado antes,
também satisfaz a equação original (pois substituindo
a equação reduz-se a
), e não foi capturada pela substituição
. Portanto devemos incluir
como solução singular.
Observações sobre domínio e constantes:
- As soluções escritas exigem
. -
é constante real arbitrária (pode ser renomeada, por exemplo ). - O sinal
aparece porque tomamos raiz quadrada ao isolar .