Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços e em caso negativo mostre qual propriedade não está sendo satisfeita.
\quad V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid y=z+1\right\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid y = z + 1\}
e pede para verificar se V é subespaço de \mathbb{R}^4. Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero de \mathbb{R}^4 deve pertencer a V.
  2. V deve ser fechado sob adição.
  3. V deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a V. Para isso, substituímos na condição y = z + 1:
0 \stackrel{?}{=} 0 + 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 = 1,
que é falso. Logo (0,0,0,0)\notin V.

Passo 3

Como o vetor zero não pertence a V, já podemos concluir que V não satisfaz a propriedade de conter o elemento neutro e, portanto, não é subespaço de \mathbb{R}^4.

Resposta

V não é subespaço de \mathbb{R}^4, pois não contém o vetor zero.

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