Se z=a+b i \in \mathbb{C}, será que existe w=c+d i \in \mathbb{C} tal que z \cdot w=1 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um número complexo \,z = a + b\,i, existe outro complexo \,w = c + d\,i tal que o produto seja 1, isto é,
z \cdot w = 1.
O conteúdo envolvido é o de inverso multiplicativo em \mathbb{C}. Vamos escrever a equação do produto e igualar partes real e imaginária para encontrar c e d.

Passo 2

Escrevendo o produto (a + b\,i)(c + d\,i), temos
(a + b\,i)(c + d\,i) = (a\,c - b\,d) + (a\,d + b\,c)\,i.
Queremos que esse resultado seja 1 + 0\,i.

Passo 3

Igualando as partes real e imaginária ao produto desejado 1 + 0\,i, obtemos o sistema
\begin{cases} a\,c - b\,d = 1,\\\ a\,d + b\,c = 0. \end{cases}

Passo 4

Para resolver esse sistema linear em c e d, usamos eliminação ou regra de Cramer. O determinante comum é
\Delta = \begin{vmatrix} a & -b\\\ b & a \end{vmatrix} = a^2 + b^2.
Desde que \Delta \neq 0, ou seja, a^2 + b^2 \neq 0, as soluções são
c = \frac{1\cdot a - 0\cdot(-b)}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad d = \frac{0\cdot a - 1\cdot b}{a^2 + b^2} = -\frac{b}{a^2 + b^2}.

Passo 5

Concluímos que existe inverso multiplicativo w se e somente se a^2 + b^2 \neq 0, isto é, se \,z\neq0. Nesse caso,
w = \frac{a}{a^2 + b^2} \;-\;\frac{b}{a^2 + b^2}\,i.

Resposta

\text{Sim, existe se e somente se }a^2 + b^2 \neq 0,\quad\text{e nesse caso } w = \frac{a}{a^2 + b^2} \;-\;\frac{b}{a^2 + b^2}\,i.

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