Se
, podemos afirmar que
ou
? Essa propriedade é válida em
?
Passo 1
O enunciado pergunta: dado
com
podemos concluir que
ou
? Vamos ver se essa propriedade vale em
. O conteúdo envolvido é a noção de zero-divisor e o fato de que
é um campo.
Passo 2
Em teoria de anéis, dizemos que um elemento
é zero-divisor se existir
tal que
. Um anel sem zero-divisores (isto é, onde
implica
ou
) chama-se domínio íntegro.
Passo 3
Um campo é um anel comutativo em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Em particular,
é um campo porque, para todo
, existe
Passo 4
Suponha agora que
. Se
, então
existe e multiplicando ambos os lados da igualdade por
obtemos
Analogamente, se
então, multiplicando por
, deduzimos
.
Resposta
Sim. Em
, que é um campo (portanto um domínio íntegro), a igualdade
força
ou
.