Se z_{1} \cdot z_{2}=0, podemos afirmar que z_{1}=0 ou z_{2}=0 ? Essa propriedade é válida em \mathbb{C} ?

Passo 1

O enunciado pergunta: dado \;z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} com
\;z_{1}\cdot z_{2}=0,
podemos concluir que \;z_{1}=0 ou \;z_{2}=0? Vamos ver se essa propriedade vale em \mathbb{C}. O conteúdo envolvido é a noção de zero-divisor e o fato de que \mathbb{C} é um campo.

Passo 2

Em teoria de anéis, dizemos que um elemento a é zero-divisor se existir b\neq0 tal que a\cdot b=0. Um anel sem zero-divisores (isto é, onde ab=0 implica a=0 ou b=0) chama-se domínio íntegro.

Passo 3

Um campo é um anel comutativo em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Em particular, \mathbb{C} é um campo porque, para todo z\neq0, existe
\;z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}\quad\text{tal que}\quad z\cdot z^{-1}=1.

Passo 4

Suponha agora que z_{1}z_{2}=0. Se z_{1}\neq0, então z_{1}^{-1} existe e multiplicando ambos os lados da igualdade por z_{1}^{-1} obtemos
z_{1}^{-1}(z_{1}z_{2})=(z_{1}^{-1}z_{1})z_{2} \;\Longrightarrow\; 1\cdot z_{2}=z_{2} \;\Longrightarrow\; z_{2}=0.
Analogamente, se z_{2}\neq0 então, multiplicando por z_{2}^{-1}, deduzimos z_{1}=0.

Resposta

Sim. Em \mathbb{C}, que é um campo (portanto um domínio íntegro), a igualdade z_{1}z_{2}=0 força z_{1}=0 ou z_{2}=0.

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