Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
b)
; com
b)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
formado por matrizes
reais com condições sobre as entradas. As informações fornecidas são:
- Matrizes genéricas do tipo
com . - As restrições impostas são
e .
O que o problema pede:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de (com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar). - Se for subespaço, exibir uma base de
e dar a dimensão de .
Passo 2
Definição prática que vou usar (explicando com calma): para provar que um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço, basta mostrar três coisas:
-
não é vazio (normalmente mostrando que a matriz zero está em ). -
é fechado sob soma: somando duas matrizes de o resultado deve ficar em . -
é fechado sob multiplicação por escalar: multiplicando qualquer matriz de por um escalar real o resultado deve ficar em .
Vou aplicar essas três verificações ao conjunto descrito.
Passo 3
Mostrar que
contém a matriz zero (não é vazio).
A matriz zero em
é
Escolhendo
e
(logo
e
), obtemos exatamente a matriz zero, que satisfaz
e
. Portanto
e
não é vazio.]
Passo 4
Fechamento por soma.
Pegue duas matrizes quaisquer de
. Pela descrição do enunciado, posso escrever duas matrizes genéricas de
como
com
(usei explicitamente que
e
para cada matriz).
A soma é
Nesta matriz resultante as entradas superiores direita e inferior esquerda coincidem (
), e as entradas superior esquerda e inferior direita coincidem (
). Ou seja, a soma também satisfaz as restrições
e
. Logo
. Assim
é fechado por soma.]
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar.
Pegue uma matriz arbitrária de
,
e um escalar
. Então
Novamente as entradas obedecem
e
, portanto
. Assim
é fechado por multiplicação por escalar.]
Passo 6
Conclusão da verificação de subespaço.
Como
contém a matriz zero e é fechado por soma e por multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Escrever
em forma paramétrica (isso ajuda a encontrar uma base).
A condição
e
implica que qualquer matriz de
tem a forma
Posso separar os parâmetros
e
como combinação linear de duas matrizes fixas:
Isso mostra que toda matriz de
é combinação linear das duas matrizes
Passo 8
Provar que
e
são linearmente independentes (para que sejam base).
Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo as componentes,
Comparando entradas obtemos
e
. Portanto só a combinação trivial zera essas matrizes, logo
e
são linearmente independentes.]
Passo 9
Concluir que
é uma base e determinar a dimensão.
- Já mostrei que qualquer elemento de
é combinação linear de e (passo 7): isso significa que gera . - Já mostrei que
e são linearmente independentes (passo 8).
Portanto
é uma base de
. Como a base tem dois vetores, a dimensão de
é
.
Resposta
Sim. Uma base é
Dimensão
]