Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
b) U=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right.; com \left.a, b, c, d \in R, b=c, a=d\right\} \subset M(2,2)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto U formado por matrizes 2\times2 reais com condições sobre as entradas. As informações fornecidas são:
  • Matrizes genéricas do tipo \left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • As restrições impostas são b=c e a=d.
O que o problema pede:
  • Verificar se U é um subespaço vetorial de M(2,2) (com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar).
  • Se for subespaço, exibir uma base de U e dar a dimensão de U.

Passo 2

Definição prática que vou usar (explicando com calma): para provar que um subconjunto U de um espaço vetorial é subespaço, basta mostrar três coisas:
  1. U não é vazio (normalmente mostrando que a matriz zero está em U).
  2. U é fechado sob soma: somando duas matrizes de U o resultado deve ficar em U.
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar: multiplicando qualquer matriz de U por um escalar real o resultado deve ficar em U.
Vou aplicar essas três verificações ao conjunto descrito.

Passo 3

Mostrar que U contém a matriz zero (não é vazio).
A matriz zero em M(2,2) é
0=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Escolhendo a=0 e b=0 (logo c=b=0 e d=a=0), obtemos exatamente a matriz zero, que satisfaz b=c e a=d. Portanto 0\in U e U não é vazio.]

Passo 4

Fechamento por soma.
Pegue duas matrizes quaisquer de U. Pela descrição do enunciado, posso escrever duas matrizes genéricas de U como
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\[4pt] b_1 & a_1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\[4pt] b_2 & a_2\end{pmatrix},
com a_1,b_1,a_2,b_2\in\mathbb{R} (usei explicitamente que b=c e a=d para cada matriz).
A soma é
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\[4pt] b_1+b_2 & a_1+a_2\end{pmatrix}.
Nesta matriz resultante as entradas superiores direita e inferior esquerda coincidem ( b_1+b_2), e as entradas superior esquerda e inferior direita coincidem ( a_1+a_2). Ou seja, a soma também satisfaz as restrições b=c e a=d. Logo A+B\in U. Assim U é fechado por soma.]

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar.
Pegue uma matriz arbitrária de U,
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & a\end{pmatrix},
e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda b & \lambda a\end{pmatrix}.
Novamente as entradas obedecem \lambda b=\lambda b e \lambda a=\lambda a, portanto \lambda A\in U. Assim U é fechado por multiplicação por escalar.]

Passo 6

Conclusão da verificação de subespaço.
Como U contém a matriz zero e é fechado por soma e por multiplicação por escalar, concluímos que U é um subespaço vetorial de M(2,2).

Passo 7

Escrever U em forma paramétrica (isso ajuda a encontrar uma base).
A condição b=c e a=d implica que qualquer matriz de U tem a forma
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & a\end{pmatrix}, \qquad a,b\in\mathbb{R}.
Posso separar os parâmetros a e b como combinação linear de duas matrizes fixas:
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Isso mostra que toda matriz de U é combinação linear das duas matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Provar que E_1 e E_2 são linearmente independentes (para que sejam base).
Suponha que existam escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha E_1 + \beta E_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as componentes,
\alpha\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\[4pt] \beta & \alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Comparando entradas obtemos \alpha=0 e \beta=0. Portanto só a combinação trivial zera essas matrizes, logo E_1 e E_2 são linearmente independentes.]

Passo 9

Concluir que \{E_1,E_2\} é uma base e determinar a dimensão.
  • Já mostrei que qualquer elemento de U é combinação linear de E_1 e E_2 (passo 7): isso significa que \{E_1,E_2\} gera U.
  • Já mostrei que E_1 e E_2 são linearmente independentes (passo 8).
Portanto \{E_1,E_2\} é uma base de U. Como a base tem dois vetores, a dimensão de U é 2.

Resposta

Sim. Uma base é
\left\{\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\,\right\}
Dimensão \;2]

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